Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình $f\left( \sqrt{4x-{{x}^{2}}}+1 \right)=m$ có 4 nghiệm phân biệt?
A. 2.
B. 3.
C. 5.
D. 1.
B. 3.
C. 5.
D. 1.
Đặt $t=\sqrt{4x-{{x}^{2}}}+1$ với $x\in [0;4].$ Ta có $t'=\dfrac{4-2x}{2\sqrt{4x-{{x}^{2}}}}=0\Leftrightarrow x=2$
Ta có bảng biến thiên sau:
1 1
Với $x=2\Rightarrow t=3$ và với $x\in \left[ 0;4 \right]\backslash \left\{ 2 \right\}\Rightarrow t\in \!\![\!\!1;3)$ và mỗi giá trị của t có 2 giá trị của x.
Khi đó phương trình trở thành: $f(t)=m+5$
Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình $f(t)=m+5$ có 2 nghiệm $t\in [1;3)\Leftrightarrow -2<m<0$
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ -1 \right\}$
Ta có bảng biến thiên sau:
x
0 2 4t'
+ 0 -t
10845801504950010033015049500 31 1
Với $x=2\Rightarrow t=3$ và với $x\in \left[ 0;4 \right]\backslash \left\{ 2 \right\}\Rightarrow t\in \!\![\!\!1;3)$ và mỗi giá trị của t có 2 giá trị của x.
Khi đó phương trình trở thành: $f(t)=m+5$
Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình $f(t)=m+5$ có 2 nghiệm $t\in [1;3)\Leftrightarrow -2<m<0$
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ -1 \right\}$
Đáp án D.