Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\left[ 0;+\infty \right)$ và thỏa mãn $f(0)=1,f(x)+{f}'(x)=\dfrac{\sqrt{4\text{x}+1}}{{{e}^{x}}}$ với mọi $x\ge 0$. Giá trị $f(2)$ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau?
A. $(0;1)$
B. $(1;2)$
C. $(2;3)$
D. $(3;4)$
A. $(0;1)$
B. $(1;2)$
C. $(2;3)$
D. $(3;4)$
Ta có: $f(x)+{f}'(x)=\dfrac{\sqrt{4\text{x}+1}}{{{e}^{x}}}\Leftrightarrow {f}'(x).{{e}^{x}}+f(x).{{e}^{x}}=\sqrt{4\text{x}+1}$
$\Leftrightarrow {{\left[ f(x){{e}^{x}} \right]}^{\prime }}=\sqrt{4\text{x}+1}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{2}{{{\left[ f(x){{e}^{x}} \right]}^{\prime }}d\text{x}}=\int\limits_{0}^{2}{\sqrt{4\text{x}+1}d\text{x}}\Leftrightarrow \left. f(x){{e}^{x}} \right|_{0}^{2}=\dfrac{13}{3}$
$\Leftrightarrow f(2).{{e}^{2}}-f(0)=\dfrac{13}{3}\Leftrightarrow f(2)=\dfrac{16}{3{{\text{e}}^{2}}}\approx 0,72\in (0;1)$.
$\Leftrightarrow {{\left[ f(x){{e}^{x}} \right]}^{\prime }}=\sqrt{4\text{x}+1}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{2}{{{\left[ f(x){{e}^{x}} \right]}^{\prime }}d\text{x}}=\int\limits_{0}^{2}{\sqrt{4\text{x}+1}d\text{x}}\Leftrightarrow \left. f(x){{e}^{x}} \right|_{0}^{2}=\dfrac{13}{3}$
$\Leftrightarrow f(2).{{e}^{2}}-f(0)=\dfrac{13}{3}\Leftrightarrow f(2)=\dfrac{16}{3{{\text{e}}^{2}}}\approx 0,72\in (0;1)$.
Đáp án A.