Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $\left[ e ; {{e}^{2}} \right]$. Biết ${{x}^{2}}{{f}^{\prime }}(x)\cdot \ln x-xf(x)+{{\ln }^{2}}x=0,\forall x\in \left[ e;{{e}^{2}} \right]$ và $f(e)=\dfrac{1}{e}$. Tính tích phân $I=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{f(x)}\text{d}x$.
A. $I=\ln 2$.
B. $I=2$.
C. $I=\dfrac{3}{2}$.
D. $I=3$.
A. $I=\ln 2$.
B. $I=2$.
C. $I=\dfrac{3}{2}$.
D. $I=3$.
Ta có: ${{x}^{2}}{{f}^{\prime }}(x)\cdot \ln x-xf(x)+{{\ln }^{2}}x=0,\forall x\in \left[ e;{{e}^{2}} \right]$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{f}^{\prime }}(x)\cdot \ln x-\dfrac{1}{x}.f(x)}{{{\ln }^{2}}x}=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{f(x)}{\ln x} \right)}^{\prime }}=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$
Lấy nguyên hàm hai vế ta được: $\dfrac{f(x)}{\ln x}=\dfrac{1}{x}+C$ theo đề bài ta có $f(e)=\dfrac{1}{e}\Rightarrow C=0$
suy ra $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\Rightarrow I=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{f(x)}\text{d}x=I=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\dfrac{\ln x}{x}}\text{d}x=\dfrac{3}{2}$.
$\Leftrightarrow \dfrac{{{f}^{\prime }}(x)\cdot \ln x-\dfrac{1}{x}.f(x)}{{{\ln }^{2}}x}=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{f(x)}{\ln x} \right)}^{\prime }}=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$
Lấy nguyên hàm hai vế ta được: $\dfrac{f(x)}{\ln x}=\dfrac{1}{x}+C$ theo đề bài ta có $f(e)=\dfrac{1}{e}\Rightarrow C=0$
suy ra $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\Rightarrow I=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{f(x)}\text{d}x=I=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\dfrac{\ln x}{x}}\text{d}x=\dfrac{3}{2}$.
Đáp án C.