Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn [1; 6] và thỏa mãn $f(x)=\dfrac{f(2\sqrt{x+3}-3)}{\sqrt{x+3}}+\dfrac{x}{\sqrt{x+3}}$. Tính tích phân của $I=\int\limits_{3}^{6}{f(x)dx}$
A. $I=\dfrac{10}{3}.$
B. $I=\dfrac{20}{3}.$
C. $I=4.$
D. $I=\dfrac{10}{3}+\ln 2.$
A. $I=\dfrac{10}{3}.$
B. $I=\dfrac{20}{3}.$
C. $I=4.$
D. $I=\dfrac{10}{3}+\ln 2.$
Theo giả thiết ta có: $f(x)=\dfrac{f(2\sqrt{x+3}-3)}{\sqrt{x+3}}+\dfrac{x}{\sqrt{x+3}}$
Lấy tích phân hai vế cận từ 1 đến 6 ta được $\int\limits_{1}^{6}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{6}{\dfrac{f\left( 2\sqrt{x+3}-3 \right)}{\sqrt{x+3}}dx+\int\limits_{1}^{6}{\dfrac{xdx}{\sqrt{x+3}}}}$
$\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{6}{f(x)dx=\int\limits_{1}^{6}{f\left( 2\sqrt{x+3}-3 \right)d}}\left( 2\sqrt{x+3}-3 \right)+\dfrac{20}{3}$ (Casino ta được $\int\limits_{1}^{6}{\dfrac{xdx}{\sqrt{x+3}}=\dfrac{20}{3}}$ )
$\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{6}{f(x)dx}=\int\limits_{1}^{3}{f\left( u \right)du}+\dfrac{20}{3}\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{6}{f(x)dx}=\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}+\dfrac{20}{3}$
Do đó $I=\int\limits_{3}^{6}{f(x)dx}=\dfrac{20}{3}$
Lấy tích phân hai vế cận từ 1 đến 6 ta được $\int\limits_{1}^{6}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{6}{\dfrac{f\left( 2\sqrt{x+3}-3 \right)}{\sqrt{x+3}}dx+\int\limits_{1}^{6}{\dfrac{xdx}{\sqrt{x+3}}}}$
$\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{6}{f(x)dx=\int\limits_{1}^{6}{f\left( 2\sqrt{x+3}-3 \right)d}}\left( 2\sqrt{x+3}-3 \right)+\dfrac{20}{3}$ (Casino ta được $\int\limits_{1}^{6}{\dfrac{xdx}{\sqrt{x+3}}=\dfrac{20}{3}}$ )
$\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{6}{f(x)dx}=\int\limits_{1}^{3}{f\left( u \right)du}+\dfrac{20}{3}\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{6}{f(x)dx}=\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}+\dfrac{20}{3}$
Do đó $I=\int\limits_{3}^{6}{f(x)dx}=\dfrac{20}{3}$
Đáp án A.