Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn

2 f (x) - f (1 - x) = \sqrt{1 - x^{2}}, \forall x \in R

. Tích phân

\int_{0}^{1} f (x) d x

có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?
A.

(\frac{1}{4}; \frac{1}{2})

B.

(\frac{1}{2}; 1)

C.

(\frac{1}{8}; \frac{1}{4})

D.

(0; \frac{1}{4})

Ta có

2 f (x) - f (1 - x) = \sqrt{1 - x^{2}} \Leftrightarrow \int_{0}^{1} [2 f (x) - f (1 - x)] d x = \int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x

\Leftrightarrow 2 \int_{0}^{1} f (x) d x - \int_{0}^{1} f (1 - x) d x = \frac{π}{4} \Leftrightarrow 2 \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{0}^{1} f (1 - x) d (1 - x) = \frac{π}{4}

\Leftrightarrow 2 \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{π}{4} \Leftrightarrow 2 \int_{0}^{1} f (x) d x - \int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{π}{4} \Leftrightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{π}{4} \in (\frac{1}{2}; 1)

Đáp án B.

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn...