Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục, có đạo hàm cấp hai trên $R$ ...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

liên tục, có đạo hàm cấp hai trên

R

và có đồ thị (C) như hình vẽ. Biết

Δ

là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ

x = 0.

Tính tích phân

I = \int_{0}^{1} x {f^{'}}^{'} (x^{2}) d x .

A.

\frac{1}{4} .

B. 2
C. 4
D.

\frac{1}{2} .

Đặt

t = x^{2} \Rightarrow {\begin{aligned} d t = 2 x d x \\ x : 0 \to 1 \Rightarrow t : 0 \to 1 \end{aligned} .

Khi đó:

I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} {f^{'}}^{'} (t) d t = \frac{1}{2} {f^{'} (t) |}_{0}^{1} = \frac{1}{2} . (f^{'} (1) - f^{'} (0))

(*)
Do hàm số

y = f (x)

có điểm cực trị

x = 1 \Rightarrow f^{'} (1) = 0.

Phương trình đường thẳng

Δ : \frac{x}{1} + \frac{y}{1} = 1 \Leftrightarrow y = - x + 1

(1)
Suy ra hệ số góc của đường thẳng

Δ

là

- 1 \Rightarrow f^{'} (0) = - 1

(2).
Thay (1), (2) vào (*), ta được:

I = \frac{1}{2} . (0 - (- 1)) = \frac{1}{2} .

Đáp án D.

Cho hàm số y=f(x) liên tục, có đạo hàm cấp hai trên R...