Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục, có đạo hàm cấp hai trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị (C) như hình vẽ. Biết $\Delta $ là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ $x=0.$ Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{x{{f}'}'\left( {{x}^{2}} \right)dx}.$
A. $\dfrac{1}{4}.$
B. 2
C. 4
D. $\dfrac{1}{2}.$
A. $\dfrac{1}{4}.$
B. 2
C. 4
D. $\dfrac{1}{2}.$
Đặt $t={{x}^{2}}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& dt=2xdx \\
& x:0\to 1\Rightarrow t:0\to 1 \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó: $I=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{{{f}'}'\left( t \right)dt}=\dfrac{1}{2}\left. {f}'\left( t \right) \right|_{0}^{1}=\dfrac{1}{2}.\left( f'\left( 1 \right)-f'\left( 0 \right) \right)$ (*)
Do hàm số $y=f\left( x \right)$ có điểm cực trị $x=1\Rightarrow {f}'\left( 1 \right)=0.$
Phương trình đường thẳng $\Delta :\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{1}=1\Leftrightarrow y=-x+1$ (1)
Suy ra hệ số góc của đường thẳng $\Delta $ là $-1\Rightarrow {f}'\left( 0 \right)=-1$ (2).
Thay (1), (2) vào (*), ta được: $I=\dfrac{1}{2}.\left( 0-\left( -1 \right) \right)=\dfrac{1}{2}.$
& dt=2xdx \\
& x:0\to 1\Rightarrow t:0\to 1 \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó: $I=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{{{f}'}'\left( t \right)dt}=\dfrac{1}{2}\left. {f}'\left( t \right) \right|_{0}^{1}=\dfrac{1}{2}.\left( f'\left( 1 \right)-f'\left( 0 \right) \right)$ (*)
Do hàm số $y=f\left( x \right)$ có điểm cực trị $x=1\Rightarrow {f}'\left( 1 \right)=0.$
Phương trình đường thẳng $\Delta :\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{1}=1\Leftrightarrow y=-x+1$ (1)
Suy ra hệ số góc của đường thẳng $\Delta $ là $-1\Rightarrow {f}'\left( 0 \right)=-1$ (2).
Thay (1), (2) vào (*), ta được: $I=\dfrac{1}{2}.\left( 0-\left( -1 \right) \right)=\dfrac{1}{2}.$
Đáp án D.