Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm số đa thức bậc bốn và có đồ thị như...

Hàm số đã cho có dạng $f(x)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e\Rightarrow {f}'(x)=4a{{x}^{3}}+3b{{x}^{2}}+2cx+d$.

Từ giả thiết đồ thị hàm số đã cho ta thấy đồ thị hàm số đi qua các điểm $(-2;0)$, $(-1;1),(0;1)$, $(1;0)$ và có hai điểm cực tiểu là $(1;0),(-2;0)$ nên ta có hệ
$\left\{ \begin{aligned}
& f(0)=1 \\
& f(-2)=0 \\
& f(1)=0 \\
& {f}'(2)=0 \\
& {f}'(1)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& e=1 \\
& a+b+c+d=-1 \\
& 16\text{a}-8b+4c-2\text{d}=-1 \\
& -32\text{a}+12b-4c+d=0 \\
& 4\text{a}+3b+2c+d=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& e=1 \\
& a=\dfrac{1}{4} \\
& b=\dfrac{1}{2} \\
& c=-\dfrac{3}{4} \\
& d=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó $f(x)=\dfrac{1}{4}{{x}^{4}}+\dfrac{1}{2}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{4}{{x}^{2}}-x+1\Rightarrow {f}'(x)={{x}^{3}}+\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}-\dfrac{3}{2}x-1$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm $f(x)={f}'(x)$.
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}{{x}^{4}}-\dfrac{1}{2}{{x}^{3}}-\dfrac{9}{4}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{2}x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& x=-1 \\
& x=1 \\
& x=4 \\
\end{aligned} \right.$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=f(x);y={f}'(x)$ là $S=\int\limits_{-2}^{4}{\left| f(x)-{f}'(x) \right|d\text{x}}$.
Vì biểu thức $f(x)-{f}'(x)=\dfrac{1}{4}{{x}^{4}}-\dfrac{1}{2}{{x}^{3}}-\dfrac{9}{4}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{2}x+2$ không đổi dấu trên các khoảng $(-2;-1),(-1;1),$ $(1;4)$ nên ta có $S=\left| \int\limits_{-2}^{-1}{\left[ f(x)-{f}'(x) \right]d\text{x}} \right|+\left| \int\limits_{-1}^{1}{\left[ f(x)-{f}'(x) \right]d\text{x}} \right|+\left| \int\limits_{1}^{4}{\left[ f(x)-{f}'(x) \right]d\text{x}} \right|=\dfrac{107}{5}$ (đvdt).
Suy ra $T=a+b=112$.