Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm đa thức bậc bốn, có đồ thị nhận đường...

Do hàm số $y=f(x)$ là hàm đa thức bậc bốn và $f(x)=0$ có 2 nghiệm kép $x=-5,x=-2\Rightarrow f\left( x \right)=a{{\left( x+2 \right)}^{2}}{{\left( x+5 \right)}^{2}}=a{{\left( x+7x+10 \right)}^{2}}$ $\Rightarrow {f}'\left( x \right)=2a\left( {{x}^{2}}+7x+10 \right)\left( 2x+7 \right)$. Ta có $f\left( x \right)-{f}'\left( x \right)=a\left( {{x}^{2}}+7x+10 \right)\left( {{x}^{2}}+3x-4 \right)$
Gọi $S$ là diện tích hình phẳng của phần giới hạn bới đồ thị hàm số $y=f(x),y={{f}^{\prime }}(x)$ và hai đường thẳng $x=-5,x=-2$
$S=a\int\limits_{-5}^{-2}{\left| \left( {{x}^{2}}+7x+10 \right)\left( {{x}^{2}}+3x-4 \right) \right|}dx$. Đặt $A=\int\limits_{-5}^{-2}{\left| \left( {{x}^{2}}+7x+10 \right)\left( {{x}^{2}}+2x-4 \right) \right|}dx=\dfrac{127}{10}$.
Ta có $S=a.A\Rightarrow a=\dfrac{S}{A}=\dfrac{1}{5}$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ và trục hoành bằng
${{S}_{1}}=\dfrac{1}{5}\int\limits_{-5}^{-2}{{{\left( {{x}^{2}}+7x+10 \right)}^{2}}dx=}\dfrac{81}{50}$.