Cho hàm số $y=f(x)$. Hàm số $y={f}'(x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới...

Do hàm số $y=f({{x}^{2}}+m)$ là hàm chẵn nên hàm số có $3$ cực trị khi và chỉ khi hàm số này có đúng $1$ điểm cực trị dương.
$y=f({{x}^{2}}+m)\Rightarrow {y}'=2x{f}'\left( {{x}^{2}}+m \right)$
${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}}+m \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}+m=0 \\
& {{x}^{2}}+m=1 \\
& {{x}^{2}}+m=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=-m \\
& {{x}^{2}}=1-m \\
& {{x}^{2}}=3-m \\
\end{aligned} \right.$
Đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ tiếp xúc trục hoành tại điểm có hoành độ là $x=1$ nên các nghiệm của pt ${{x}^{2}}=1-m$ (nếu có) không làm ${f}'\left( {{x}^{2}}+m \right)$ đổi dấu khi $x$ đi qua, do đó các điểm cực trị của hàm số $y=f({{x}^{2}}+m)$ là các điểm nghiệm của hệ $\left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=-m \\
& {{x}^{2}}=3-m \\
\end{aligned} \right.$
Hệ trên có duy nhất nghiệm dương khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& -m\le 0 \\
& 3-m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0\le m<3$.