Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$. Hàm số $y={f}'(x)$ có bảng biến thiên như sau
Tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $m+x^{2}<f(x)+\dfrac{1}{3} x^{3}$ nghiệm đúng với mọi $x \in(0 ; 3)$ là
A. $m<f(0)$.
B. $m \leq f(0)$.
C. $m \leq f(3)$.
D. $m<f(1)-\dfrac{2}{3}$.
Tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $m+x^{2}<f(x)+\dfrac{1}{3} x^{3}$ nghiệm đúng với mọi $x \in(0 ; 3)$ là
A. $m<f(0)$.
B. $m \leq f(0)$.
C. $m \leq f(3)$.
D. $m<f(1)-\dfrac{2}{3}$.
Bất phương trình đã cho tương đương với: $m<f(x)+\dfrac{1}{3} x^{3}-x^{2}, \forall x \in(0 ; 3)$.
Xét hàm số $g(x)=f(x)+\dfrac{1}{3} x^{3}-x^{2}$ trên $(0 ; 3)$.
Bài toán trở thành tìm $m$ để $m<g(x),\forall x\in (0;3)\Leftrightarrow m\le \underset{_{[0;3]}}{\mathop{\min }} g(x)$.
Ta có ${g}'(x)={f}'(x)+{{x}^{2}}-2x$.
Nhân xét: Với $x\in (0;3)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{f}'(x)>1 \\
-1<{{x}^{2}}-2x<3 \\
\end{array}\Rightarrow {g}'(x)>0 \right.$.
Do đó ta có $m\le \underset{_{[0;3]}}{\mathop{\min }} g(x)=g(0)=f(0)+\dfrac{1}{3}{{.0}^{3}}-{{0}^{2}}=f(0)$.
Vậy $m \leq f(0)$. Chọn B.
Bổ trợ: Bảng biến thiên hàm $g(x)$ trên $(0 ; 3)$.
Xét hàm số $g(x)=f(x)+\dfrac{1}{3} x^{3}-x^{2}$ trên $(0 ; 3)$.
Bài toán trở thành tìm $m$ để $m<g(x),\forall x\in (0;3)\Leftrightarrow m\le \underset{_{[0;3]}}{\mathop{\min }} g(x)$.
Ta có ${g}'(x)={f}'(x)+{{x}^{2}}-2x$.
Nhân xét: Với $x\in (0;3)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{f}'(x)>1 \\
-1<{{x}^{2}}-2x<3 \\
\end{array}\Rightarrow {g}'(x)>0 \right.$.
Do đó ta có $m\le \underset{_{[0;3]}}{\mathop{\min }} g(x)=g(0)=f(0)+\dfrac{1}{3}{{.0}^{3}}-{{0}^{2}}=f(0)$.
Vậy $m \leq f(0)$. Chọn B.
Bổ trợ: Bảng biến thiên hàm $g(x)$ trên $(0 ; 3)$.
Đáp án B.