Cho hàm số $y = f (x)$ . Hàm số $y = f^{'} (x)$ có bảng biến thiên như sau...

The Professor · 14/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

. Hàm số

y = f^{'} (x)

có bảng biến thiên như sau

Tất cả các giá trị của tham số

m

để bất phương trình

m + x^{2} < f (x) + \frac{1}{3} x^{3}

nghiệm đúng với mọi

x \in (0; 3)

là
A.

m < f (0)

.
B.

m \leq f (0)

.
C.

m \leq f (3)

.
D.

m < f (1) - \frac{2}{3}

.

Bất phương trình đã cho tương đương với:

m < f (x) + \frac{1}{3} x^{3} - x^{2}, \forall x \in (0; 3)

.
Xét hàm số

g (x) = f (x) + \frac{1}{3} x^{3} - x^{2}

trên

(0; 3)

.
Bài toán trở thành tìm

m

để

m < g (x), \forall x \in (0; 3) \Leftrightarrow m \leq min_{_{[0; 3]}} g (x)

.
Ta có

g^{'} (x) = f^{'} (x) + x^{2} - 2 x

.
Nhân xét: Với

x \in (0; 3) \Rightarrow {\begin{cases} f^{'} (x) > 1 \\ - 1 < x^{2} - 2 x < 3 \end{cases} \Rightarrow g^{'} (x) > 0

.
Do đó ta có

m \leq min_{_{[0; 3]}} g (x) = g (0) = f (0) + \frac{1}{3} {.0}^{3} - 0^{2} = f (0)

.
Vậy

m \leq f (0)

. Chọn B.
Bổ trợ: Bảng biến thiên hàm

g (x)

trên

(0; 3)

.

Đáp án B.

Cho hàm số y=f(x). Hàm số y=f′(x) có bảng biến thiên như sau...