Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$, hàm số $f'(x)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$
$(a,b,c,d\in \mathbb{R})$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số $g(x)=f(f'(x))$
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $(1;+\infty )$
B. $(-\infty ;-2)$
C. $(-1;0)$
D. $\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$
$(a,b,c,d\in \mathbb{R})$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số $g(x)=f(f'(x))$
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $(1;+\infty )$
B. $(-\infty ;-2)$
C. $(-1;0)$
D. $\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$
Dựa vào đồ thị suy ra ${f}'\left( x \right)=\left( x+1 \right)x\left( x-1 \right)={{x}^{3}}-x$
Ta có: ${g}'\left( x \right)={f}''\left( x \right).{f}'\left( {f}'\left( x \right) \right)=\left( 3{{x}^{2}}-1 \right).\left[ {{\left( {f}'\left( x \right) \right)}^{3}}-\left( {f}'\left( x \right) \right) \right]$
$\begin{aligned}
& =\left( 3{{x}^{2}}-1 \right).{f}'\left( x \right).\left[ {f}'\left( x \right)-1 \right]\left[ {f}'\left( x \right)+1 \right]=\left( 3{{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{3}}-x \right)\left( {{x}^{3}}-x-1 \right)\left( {{x}^{3}}-x+1 \right) \\
& \Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\
& x=\pm 1,x=0 \\
& x=\pm \approx 1,324 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Lập bảng xét dấu cho ${g}'\left( x \right)$ ta nhận thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-2 \right)$.
Ta có: ${g}'\left( x \right)={f}''\left( x \right).{f}'\left( {f}'\left( x \right) \right)=\left( 3{{x}^{2}}-1 \right).\left[ {{\left( {f}'\left( x \right) \right)}^{3}}-\left( {f}'\left( x \right) \right) \right]$
$\begin{aligned}
& =\left( 3{{x}^{2}}-1 \right).{f}'\left( x \right).\left[ {f}'\left( x \right)-1 \right]\left[ {f}'\left( x \right)+1 \right]=\left( 3{{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{3}}-x \right)\left( {{x}^{3}}-x-1 \right)\left( {{x}^{3}}-x+1 \right) \\
& \Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\
& x=\pm 1,x=0 \\
& x=\pm \approx 1,324 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Lập bảng xét dấu cho ${g}'\left( x \right)$ ta nhận thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-2 \right)$.
Đáp án B.