Cho hàm số $y=f(x)=\dfrac{2x+m}{x-1}$. Tính tổng các giá trị của...

Phương pháp:
+) Tính y'.
+) Xác định các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên (2; 3).
Cách giải:
ĐK : x 1. Ta có $y'=\dfrac{-2-m}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$
TH1: $y'>0\Leftrightarrow -2-m>0\Leftrightarrow m<-2$ suy ra hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng (-; 1) (1; +) nên hàm số đông biến trên (2; 3)
Suy ra $\underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{max}} y=y(3)=\dfrac{6+m}{2}; \underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{min}} y=y(2)=4+m$
Từ ycbt ta có $\left| \dfrac{6+m}{2}-\left( 4+m \right) \right|=2\Leftrightarrow \left| -2-m \right|=4\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m+2=4 \\
& m+2=-4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=2 (ktm) \\
& m=-6 (tm) \\
\end{aligned} \right.$
TH1 : $y'<0\Leftrightarrow -2-m<0\Leftrightarrow m>-2$ suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định
(-; 1) (1; +) nên hàm số nghịch biến trên (2; 3).
Suy ra $\underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{min}} y=y(3)=\dfrac{6+m}{2}; \underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{max}} y=y(2)=4+m$
Từ ycbt ta có $\left| 4+m-\dfrac{6+m}{2} \right|=2\Leftrightarrow \left| 2+m \right|=4\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m+2=4 \\
& m+2=-4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=2 (tm) \\
& m=-6 (ktm) \\
\end{aligned} \right.$
Vậy m = 2; m = -6 nên tổng các giá trị của m là 2 + (-6) = -4.