Google
Câu hỏi: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị trên đoạn [-1;4] như hình vẽ bên. Số giá trị nguyên âm của tham số m để bất phương trình $m\ge f\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)+{{x}^{2}}-4x$ có nghiệm trên đoạn [-1;4] là
A. 4.
B. 5.
C. 6.
D. 7.
A. 4.
B. 5.
C. 6.
D. 7.
Điều kiện để bất phương trình $m\ge f\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)+{{x}^{2}}-4x$ có nghiệm trên đoạn [-1;4] là $m\ge \underset{\left[ -1;4 \right]}{\mathop{Min}} g(x)$
Xét hàm số $g(x)=f\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)+{{x}^{2}}-4x$ với $x\in \left[ -1;4 \right]$
Ta có: $g'(x)=\dfrac{1}{2}f'\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)+2(x-2).$ Đặt $t=\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)$
Ta thấy $x\in (2;4)\Rightarrow t\in \left( 2;3 \right)\Rightarrow f'\left( t \right)>0\Rightarrow g'\left( x \right)=\dfrac{1}{2}f'\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)+2\left( x-2 \right)>0$
Với $x\in \left( -1;4 \right)\Rightarrow t\in \left( \dfrac{1}{2};2 \right)\Rightarrow f'(t)<0\Rightarrow g'(t)<0$
Ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) trên đoạn [-1;4] như sau
Mặt khác $g(2)=f(2)+{{2}^{2}}-4.2=-5$
Suy ra $m\ge -5$ là giá trị cần tìm. Kết hợp $m\in {{\mathbb{Z}}^{-}}\Rightarrow m=\left\{ -5;-4;-3;-2;-1 \right\}$
Xét hàm số $g(x)=f\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)+{{x}^{2}}-4x$ với $x\in \left[ -1;4 \right]$
Ta có: $g'(x)=\dfrac{1}{2}f'\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)+2(x-2).$ Đặt $t=\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)$
Ta thấy $x\in (2;4)\Rightarrow t\in \left( 2;3 \right)\Rightarrow f'\left( t \right)>0\Rightarrow g'\left( x \right)=\dfrac{1}{2}f'\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)+2\left( x-2 \right)>0$
Với $x\in \left( -1;4 \right)\Rightarrow t\in \left( \dfrac{1}{2};2 \right)\Rightarrow f'(t)<0\Rightarrow g'(t)<0$
Ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) trên đoạn [-1;4] như sau
Mặt khác $g(2)=f(2)+{{2}^{2}}-4.2=-5$
Suy ra $m\ge -5$ là giá trị cần tìm. Kết hợp $m\in {{\mathbb{Z}}^{-}}\Rightarrow m=\left\{ -5;-4;-3;-2;-1 \right\}$
Đáp án B.