Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f^4(x)+2=3 f^2(x)+|f(x)+2 m|$ có đúng 4 nghiệm phân biệt?
A. $6.$
B. $2.$
C. $8.$
D. $3.$
A. $6.$
B. $2.$
C. $8.$
D. $3.$
Đặt $t=f(x)$, dựa vào đồ thị hàm số $y=f(x)$ ta có:
Với $t>2$ hoặc $t<-2$ thì phương trình $f(x)=t$ có đúng 1 nghiệm.
Với $t= \pm 2$ thì phương trình $f(x)=t$ có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Với $-2<t<2$ thì phương trình $f(x)=t$ có đúng 3 nghiệm phân biệt.
Từ ${{f}^{4}}(x)+2=3{{f}^{2}}(x)+|f(x)+2m|$ ta có phương trình: ${{t}^{4}}-3{{t}^{2}}+2=|t+2m|\left( * \right)$.
Phương trình đã cho có đúng 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $(*)$ có 1 nghiệm $t \in(-2 ; 2)$ và 1 nghiệm $t \in(-\infty ;-2) \cup(2 ;+\infty)$.
Vẽ đồ thị các hàm số $y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2;y=|x+2m|$ trên cùng 1 hệ trục, ta thấy yêu cẩu bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi: $2m\in (-8;-4)\cup (4;8)\Leftrightarrow m\in (-4;-2)\cup (2;4)$.
Kết hợp với $m$ nguyên nên ta có 2 giá trị của $m$ là $\pm 3$.
Với $t>2$ hoặc $t<-2$ thì phương trình $f(x)=t$ có đúng 1 nghiệm.
Với $t= \pm 2$ thì phương trình $f(x)=t$ có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Với $-2<t<2$ thì phương trình $f(x)=t$ có đúng 3 nghiệm phân biệt.
Từ ${{f}^{4}}(x)+2=3{{f}^{2}}(x)+|f(x)+2m|$ ta có phương trình: ${{t}^{4}}-3{{t}^{2}}+2=|t+2m|\left( * \right)$.
Phương trình đã cho có đúng 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $(*)$ có 1 nghiệm $t \in(-2 ; 2)$ và 1 nghiệm $t \in(-\infty ;-2) \cup(2 ;+\infty)$.
Kết hợp với $m$ nguyên nên ta có 2 giá trị của $m$ là $\pm 3$.
Đáp án B.
