Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình sau.
.Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $\dfrac{9{{m}^{3}}+m}{{{f}^{2}}(x)+4}=\sqrt{3{{f}^{2}}(x)+11}$ có bốn nghiệm phân biệt?
A. $3$.
B. $4$.
C. $6$.
D. $2$.
$\dfrac{9{{m}^{3}}+m}{{{f}^{2}}(x)+4}=\sqrt{3{{f}^{2}}(x)+11}$
$\Leftrightarrow 27{{m}^{2}}+3m=\left[ 3{{f}^{2}}\left( x \right)+12 \right]\sqrt{3{{f}^{2}}\left( x \right)+11}$
$\Leftrightarrow {{\left( 3m \right)}^{3}}+3m=\left[ 3{{f}^{2}}\left( x \right)+11 \right]\sqrt{3{{f}^{2}}\left( x \right)+11}+\sqrt{3{{f}^{2}}\left( x \right)+11}$
$\Leftrightarrow {{\left( 3m \right)}^{2}}+3m={{\left( \sqrt{3{{f}^{2}}\left( x \right)+11} \right)}^{2}}+\sqrt{3{{f}^{2}}\left( x \right)+11}$ (*)
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+t$
${f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó phương trình $\left( * \right)\Leftrightarrow 3m=\sqrt{3{{f}^{2}}\left( x \right)+11}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge 0 \\
& 9{{m}^{2}}=3{{f}^{2}}\left( x \right)+11 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge 0 \\
& {{f}^{2}}\left( x \right)=\dfrac{9{{m}^{2}}-11}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge 0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=\sqrt{\dfrac{9{{m}^{2}}-11}{3}} \\
& f\left( x \right)=-\sqrt{\dfrac{9{{m}^{2}}-11}{3}} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
Vì $f\left( x \right)=-\sqrt{\dfrac{9{{m}^{2}}-11}{3}}\le 0$ với mọi $m\ge 0$ nên từ đồ thị ta thấy phương trình này có $2$ ngiệm phân biệt.
Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình $f\left( x \right)=\sqrt{\dfrac{9{{m}^{2}}-11}{3}}$ có 2 nghiệm phân biệt.
$\Leftrightarrow 10<\sqrt{\dfrac{9{{m}^{2}}-11}{3}}<13$
$\Leftrightarrow \dfrac{311}{9}<{{m}^{2}}<\dfrac{518}{9}$
Mà $m\ge 0\Rightarrow \dfrac{\sqrt{311}}{3}<m<\dfrac{\sqrt{518}}{3}$.
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 6; 7 \right\}$.
Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
.A. $3$.
B. $4$.
C. $6$.
D. $2$.
$\dfrac{9{{m}^{3}}+m}{{{f}^{2}}(x)+4}=\sqrt{3{{f}^{2}}(x)+11}$
$\Leftrightarrow 27{{m}^{2}}+3m=\left[ 3{{f}^{2}}\left( x \right)+12 \right]\sqrt{3{{f}^{2}}\left( x \right)+11}$
$\Leftrightarrow {{\left( 3m \right)}^{3}}+3m=\left[ 3{{f}^{2}}\left( x \right)+11 \right]\sqrt{3{{f}^{2}}\left( x \right)+11}+\sqrt{3{{f}^{2}}\left( x \right)+11}$
$\Leftrightarrow {{\left( 3m \right)}^{2}}+3m={{\left( \sqrt{3{{f}^{2}}\left( x \right)+11} \right)}^{2}}+\sqrt{3{{f}^{2}}\left( x \right)+11}$ (*)
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+t$
${f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó phương trình $\left( * \right)\Leftrightarrow 3m=\sqrt{3{{f}^{2}}\left( x \right)+11}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge 0 \\
& 9{{m}^{2}}=3{{f}^{2}}\left( x \right)+11 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge 0 \\
& {{f}^{2}}\left( x \right)=\dfrac{9{{m}^{2}}-11}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge 0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=\sqrt{\dfrac{9{{m}^{2}}-11}{3}} \\
& f\left( x \right)=-\sqrt{\dfrac{9{{m}^{2}}-11}{3}} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
Vì $f\left( x \right)=-\sqrt{\dfrac{9{{m}^{2}}-11}{3}}\le 0$ với mọi $m\ge 0$ nên từ đồ thị ta thấy phương trình này có $2$ ngiệm phân biệt.
Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình $f\left( x \right)=\sqrt{\dfrac{9{{m}^{2}}-11}{3}}$ có 2 nghiệm phân biệt.
$\Leftrightarrow 10<\sqrt{\dfrac{9{{m}^{2}}-11}{3}}<13$
$\Leftrightarrow \dfrac{311}{9}<{{m}^{2}}<\dfrac{518}{9}$
Mà $m\ge 0\Rightarrow \dfrac{\sqrt{311}}{3}<m<\dfrac{\sqrt{518}}{3}$.
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 6; 7 \right\}$.
Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.