Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình sau. . Có tất cả bao nhiêu...

${\displaystyle \frac{9m^3+m}{f^2(x)+4}}=\sqrt{3f^2(x)+11}$
$\iff 27m^2+3m=[3f^2\left(x\right)+12]\sqrt{3f^2\left(x\right)+11}$
$\iff {\left(3m\right)}^3+3m=[3f^2\left(x\right)+11]\sqrt{3f^2\left(x\right)+11}+\sqrt{3f^2\left(x\right)+11}$
$\iff {\left(3m\right)}^2+3m={\left(\sqrt{3f^2\left(x\right)+11}\right)}^2+\sqrt{3f^2\left(x\right)+11}$ (*)
Xét hàm số $f\left(t\right)=t^3+t$
$f^{\prime }\left(t\right)=3t^2+1>0$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó phương trình $(\ast )\iff 3m=\sqrt{3f^2\left(x\right)+11}$
$\iff \{\begin{array}{rl}& m\ge 0\\ & 9m^2=3f^2\left(x\right)+11\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m\ge 0\\ & f^2\left(x\right)={\displaystyle \frac{9m^2-11}{3}}\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m\ge 0\\ & [\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\sqrt{{\displaystyle \frac{9m^2-11}{3}}}\\ & f\left(x\right)=-\sqrt{{\displaystyle \frac{9m^2-11}{3}}}\end{array}\end{array}$
Vì $f\left(x\right)=-\sqrt{{\displaystyle \frac{9m^2-11}{3}}}\le 0$ với mọi $m\ge 0$ nên từ đồ thị ta thấy phương trình này có $2$ ngiệm phân biệt.
Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình $f\left(x\right)=\sqrt{{\displaystyle \frac{9m^2-11}{3}}}$ có 2 nghiệm phân biệt.
$\iff 10<\sqrt{{\displaystyle \frac{9m^2-11}{3}}}<13$
$\iff {\displaystyle \frac{311}{9}}<m^2<{\displaystyle \frac{518}{9}}$
Mà $m\ge 0\Rightarrow {\displaystyle \frac{\sqrt{311}}{3}}<m<{\displaystyle \frac{\sqrt{518}}{3}}$.
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{6;7\}$.
Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.