Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị (C), xác định và liên tục trên ℝ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $f(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}$ ; ${f}'(x)={{\left( x.f(x) \right)}^{2}},\forall x\in \mathbb{R}$ và $f(0)=2$. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=1$ của đồ thị (C) là
A. $y=6\text{x}+30$
B. $y=-6\text{x}+30$
C. $y=36\text{x}-30$
D. $y=-36x+42$
A. $y=6\text{x}+30$
B. $y=-6\text{x}+30$
C. $y=36\text{x}-30$
D. $y=-36x+42$
Biến đổi: ${f}'(x)={{\left( x.f(x) \right)}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{f'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}={{x}^{2}}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{f'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}dx=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}dx}}$.
$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{f'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}dx=\left. \dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right|_{0}^{1}\Leftrightarrow \left. -\dfrac{1}{f(x)} \right|_{0}^{1}}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \dfrac{1}{f\left( 1 \right)}-\dfrac{1}{f\left( 0 \right)}=-\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \dfrac{1}{f\left( 1 \right)}=\dfrac{1}{6}\Leftrightarrow f\left( 1 \right)=6$
${f}'(x)={{\left( x.f(x) \right)}^{2}}\Rightarrow f'\left( 1 \right)={{\left( 1.f\left( 1 \right) \right)}^{2}}=36$
Suy ra phương trình tiếp tuyến cần lập là: $y=36(x-1)+6\Leftrightarrow y=36\text{x}-30$.
$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{f'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}dx=\left. \dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right|_{0}^{1}\Leftrightarrow \left. -\dfrac{1}{f(x)} \right|_{0}^{1}}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \dfrac{1}{f\left( 1 \right)}-\dfrac{1}{f\left( 0 \right)}=-\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \dfrac{1}{f\left( 1 \right)}=\dfrac{1}{6}\Leftrightarrow f\left( 1 \right)=6$
${f}'(x)={{\left( x.f(x) \right)}^{2}}\Rightarrow f'\left( 1 \right)={{\left( 1.f\left( 1 \right) \right)}^{2}}=36$
Suy ra phương trình tiếp tuyến cần lập là: $y=36(x-1)+6\Leftrightarrow y=36\text{x}-30$.
Đáp án C.