Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm...

Đặt $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)=\left( 2x-4 \right).{f}'\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)$.
${f}'\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2x \right)\Rightarrow $ ${g}'\left( x \right)=\left( 2x-8 \right){{\left( {{x}^{2}}-8x+m-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)\left( {{x}^{2}}-8x+m-2 \right)$
${g}'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=4 \\
& {{x}^{2}}-8x+m-1=0 \left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}-8x+m=0 \left( 2 \right) \\
& {{x}^{2}}-8x+m-2=0 \left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Các phương trình $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$, $\left( 3 \right)$ không có nghiệm chung từng đôi một và ${{\left( {{x}^{2}}-8x+m-1 \right)}^{2}}\ge 0$ với $\forall x\in \mathbb{R}$
Suy ra $g\left( x \right)$ có $5$ điểm cực trị khi và chỉ khi $\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $4$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 16-m>0 \\
& 16-m+2>0 \\
& 16-32+m\ne 0 \\
& 16-32+m-2\ne 0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<16 \\
& m<18 \\
& m\ne 16 \\
& m\ne 18 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow m<16$.
$m$ nguyên dương và $m<16$ nên có $15$ giá trị $m$ cần tìm.