Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên $\mathbb{R}$ và có...

Do đồ thị hàm số liên tục và có đạo hàm trên nên hàm số liên tục trên và hàm số không có đạo hàm tại nhưng đạt cực trị tại . Hơn nữa hàm số có đồ thị đối xứng qua đường thẳng . Do đó để hàm số có điểm cực tiểu khi và chỉ khi hàm số đạt cực tiểu tại , đạt cực tiểu tại điểm và với và đối xứng qua đường thẳng . Điều này đồng nghĩa với việc hàm số có điểm cực trị. Bảng biến thiên của hàm số cần tìm có dạng



• Với thì
Ta có .
Xét
Ta thấy .
• Với thì
Ta có .
Xét
Ta thấy .
Do đó để hàm số có điểm cực trị như đã nói ở trên khi và chỉ khi


Vì là số nguyên dương nên và .