: Cho hàm số y= f( x) có đạo hàm trên và có đồ thị như hình vẽ...

Phương pháp:
- Tính đạo hàm của hàm số $y=g\left( x \right)$. Giải phương trình $g'\left( x \right)=0.~$
- Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ để tìm giá trị của m.
Cách giải:
Ta có : $g'\left( x \right)=\left( 3{{x}^{2}}+2 \right).f'\left( {{x}^{3}}+2x \right)$

$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}

& 3{{x}^{2}}+2=0 \\

& f'\left( {{x}^{2}}+2x \right)=0 \\

\end{aligned} \right.\Leftrightarrow f'\left( {{x}^{3}}+2x \right)=0$ (Do phương trình 3 x 2 + 2 = 0 vô nghiệm).

Từ đồ thị hàm số f ( x ) đã cho ta có $f'\left( {{x}^{3}}+2x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}

& {{x}^{3}}+2x=0 \\

& {{x}^{3}}+2x=2 \\

\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}

& x=0 \\

& x={{x}_{0}}\approx 0,77 \\

\end{aligned} \right.$

Hàm số g ( x ) trên đoạn [ 0;1 ] có :

$\begin{aligned}

& g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)+m=m+1 \\

& g\left( {{x}_{0}} \right)=f\left( 2 \right)+m=m-3 \\

& g\left( 1 \right)=f\left( 3 \right)+m=m+1 \\

\end{aligned}$

Do đó, $\underset{_{[0;1]}}{\mathop{max}} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=g\left( 1 \right)=m+1.~$

Theo giả thiết, giá trị lớn nhất của hàm số $g\left( x \right)$ trên $\left[ 0;1 \right]$ bằng 9 nên m + 1 = 9 ⇔ m = 8 .

Vậy m = 8.