Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên ℝ và đồ thị hàm số $y={f}'(x)$ cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ $-3;-2;a;b;3;c;5$ với $-\dfrac{4}{3}<a<-1;1<b<\dfrac{4}{3};4<c<5$ có dạng như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số $y=f(2\left| x \right|+m-3)$ có 7 điểm cực trị?
A. 2
B. 3
C. 4
D. Vô số
A. 2
B. 3
C. 4
D. Vô số
Từ hình vẽ ta thấy hàm số $y=f(x)$ đạt cực trị tại các điểm $-3;-2;a;b;c;5$.
Xét hàm số $y=g(x)=f\left( 2\left| x \right|+m-3 \right)$
${g}'(x)=\dfrac{2\text{x}}{\left| x \right|}.{f}'\left( 2\left| x \right|+m-3 \right)$.
Khi đó, để xác định số điểm cực trị của hàm số $y=g(x)$ ta cần xác định số nghiệm của hệ
$\left[\begin{array}{l}x=0 \\ 2|x|+m-3 \in\{-3 ;-2 ; a ; b ; c ; 5\}\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ |x| \in\left\{\dfrac{-m}{2} ; \dfrac{-m+1}{2} ; \dfrac{a+3-m}{2} ; \dfrac{b+3-m}{2} ; \dfrac{c+3-m}{2} ; \dfrac{8-m}{2}\right\}\end{array}\right.$
Đặt $x_{1}=\dfrac{-m}{2} ; x_{2}=\dfrac{-m+1}{2} ; x_{3}=\dfrac{a+3-m}{2} ; x_{4}=\dfrac{b+3-m}{2} ; x_{5}=\dfrac{c+3-m}{2} ; x_{6}=\dfrac{8-m}{2}$.
Ta có ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}<{{x}_{4}}<{{x}_{5}}<{{x}_{6}}$.
Với mỗi $i=1;2;...;7$
Nếu ${{x}_{i}}>0$ phương trình $\left| x \right|={{x}_{i}}$ có hai nghiệm phân biệt $x=\pm {{x}_{i}}$, dẫn đến $x=\pm {{x}_{i}}$ là hai điểm cực trị của hàm số $y=g(x)$
Nếu ${{x}_{i}}=0$ phương trình $\left| x \right|={{x}_{i}}$ có duy nhất $x=0$, dẫn đến $x=0$ là điểm cực trị của hàm số $y=g(x)$
Nếu ${{x}_{i}}<0$ phương trình $\left| x \right|={{x}_{i}}$ vô nghiệm.
Do đó, hàm số $y=g(x)$ có 7 điểm cực trị
$\Leftrightarrow {{x}_{3}}\le 0<{{x}_{4}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \dfrac{a+3-m}{2}\le 0 \\
& \dfrac{b+3-m}{2}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow a+3\le m<b+3\Rightarrow -1+3\le m<\dfrac{4}{3}+3$.
Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn là 2; 3; 4.
Xét hàm số $y=g(x)=f\left( 2\left| x \right|+m-3 \right)$
${g}'(x)=\dfrac{2\text{x}}{\left| x \right|}.{f}'\left( 2\left| x \right|+m-3 \right)$.
Khi đó, để xác định số điểm cực trị của hàm số $y=g(x)$ ta cần xác định số nghiệm của hệ
$\left[\begin{array}{l}x=0 \\ 2|x|+m-3 \in\{-3 ;-2 ; a ; b ; c ; 5\}\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ |x| \in\left\{\dfrac{-m}{2} ; \dfrac{-m+1}{2} ; \dfrac{a+3-m}{2} ; \dfrac{b+3-m}{2} ; \dfrac{c+3-m}{2} ; \dfrac{8-m}{2}\right\}\end{array}\right.$
Đặt $x_{1}=\dfrac{-m}{2} ; x_{2}=\dfrac{-m+1}{2} ; x_{3}=\dfrac{a+3-m}{2} ; x_{4}=\dfrac{b+3-m}{2} ; x_{5}=\dfrac{c+3-m}{2} ; x_{6}=\dfrac{8-m}{2}$.
Ta có ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}<{{x}_{4}}<{{x}_{5}}<{{x}_{6}}$.
Với mỗi $i=1;2;...;7$
Nếu ${{x}_{i}}>0$ phương trình $\left| x \right|={{x}_{i}}$ có hai nghiệm phân biệt $x=\pm {{x}_{i}}$, dẫn đến $x=\pm {{x}_{i}}$ là hai điểm cực trị của hàm số $y=g(x)$
Nếu ${{x}_{i}}=0$ phương trình $\left| x \right|={{x}_{i}}$ có duy nhất $x=0$, dẫn đến $x=0$ là điểm cực trị của hàm số $y=g(x)$
Nếu ${{x}_{i}}<0$ phương trình $\left| x \right|={{x}_{i}}$ vô nghiệm.
Do đó, hàm số $y=g(x)$ có 7 điểm cực trị
$\Leftrightarrow {{x}_{3}}\le 0<{{x}_{4}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \dfrac{a+3-m}{2}\le 0 \\
& \dfrac{b+3-m}{2}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow a+3\le m<b+3\Rightarrow -1+3\le m<\dfrac{4}{3}+3$.
Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn là 2; 3; 4.
Đáp án B.