Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên ℝ và đồ thị hàm số $y={f}'(x)$ cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ $-3;-2;a;b;3;c;5$ với...

Xét hàm số $h\left( x \right)=f\left( 2x+m-3 \right)$
Ta có: $h'\left( x \right)=2f'\left( 2x+m-3 \right)=0\Leftrightarrow f'\left( 2x+m-3 \right)=0$
Từ đồ thị của hàm số $f'\left( x \right)$ suy ra $f'\left( 2x+m-3 \right)=0\Leftrightarrow 2x+m-3=k\Leftrightarrow x=\dfrac{k+3-m}{2}$ với $k\in \left\{ -3;-2;a;b;3;c;5 \right\}$ $\left( -\dfrac{4}{3}<a<-1;1<b<\dfrac{4}{3};4<c<5 \right)$
Hàm số $y=f\left( 2\left| x \right|+m-3 \right)$ có 7 điểm cực trị $\Leftrightarrow $ hàm số $h\left( x \right)=f\left( 2x+m-3 \right)$ có 3 cực trị có hoành độ dương, mà 3 là nghiệm bội chẵn của $f'\left( x \right)$ nên hàm số $h\left( x \right)=f\left( 2x+m-3 \right)$ có 3 cực trị có hoành độ dương $\Leftrightarrow $ phương trình $h'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm dương phân biệt khác $\dfrac{6-m}{2}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{a+3-m}{2}<0 \\
& \dfrac{b+3-m}{2}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+3-m<0 \\
& b+3-m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>a+3 \\
& m<b+3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow a+3<m<b+3$
Do $-\dfrac{4}{3}<a<-1$ và $1<b<\dfrac{4}{3}$ nên $-1+3\le m\le 1+3$ hay $2\le m\le 4$
Vậy có 3 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $2;3;4.$