Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\lim _{h \rightarrow 0} \dfrac{3 f(h)-1}{6 h}=\dfrac{2}{3}$ và $f\left(x_{1}+x_{2}\right)=f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+2 x_{1} x_{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)-\dfrac{1}{3}, \forall x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}$. Tính $f(2) .$
A. 8.
B. $\dfrac{17}{3}$.
C. $\dfrac{95}{3}$.
D. $\dfrac{25}{3}$.
Từ $f\left(x_{1}+x_{2}\right)=f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+2 x_{1} x_{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)-\dfrac{1}{3}$.
Ta cố định $x_{1}$, khi đó $f'\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=f'\left( {{x}_{2}} \right)+2x_{1}^{2}+4{{x}_{1}}{{x}_{2}}.$
Ta cố định ${{x}_{2}}$ khi đó ${{f}^{\prime }}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)={{f}^{\prime }}\left( {{x}_{1}} \right)+2x_{2}^{2}+4{{x}_{1}}{{x}_{2}}$.
Do đó, $f^{\prime}\left(x_{2}\right)-2 x_{2}{ }^{2}=f^{\prime}\left(x_{1}\right)-2 x_{1}{ }^{2}, \forall x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}$. Từ đó, ta thắy $f^{\prime}(x)-2 x^{2}$ là hàm hằng. Do đó tồn tại các hằng số $a$ và $b$ sao cho $f(x)=\dfrac{2}{3} x^{3}+a x+b$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Từ đắng thức trong đề bài, thay $x_{1}=x_{2}=0$, ta có $f(0)=\dfrac{1}{3}\Rightarrow b=\dfrac{1}{3}$.
Theo bài ra $\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{3f(h)-1}{6h}=\dfrac{2}{3}$ $\Leftrightarrow \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{3\left( f(h)-\dfrac{1}{3} \right)}{6h}=\dfrac{2}{3}$ $\Leftrightarrow \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{\left( f(h)-\dfrac{1}{3} \right)}{h}=\dfrac{4}{3}$
$\Leftrightarrow f'\left( 0 \right)=\dfrac{4}{3}$ $\Rightarrow a=\dfrac{4}{3}$.
Vậy $f(x)=\dfrac{2{{x}^{3}}+4x+1}{3}$ $\Rightarrow f\left( 2 \right)=\dfrac{25}{3}$.
A. 8.
B. $\dfrac{17}{3}$.
C. $\dfrac{95}{3}$.
D. $\dfrac{25}{3}$.
Từ $f\left(x_{1}+x_{2}\right)=f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+2 x_{1} x_{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)-\dfrac{1}{3}$.
Ta cố định $x_{1}$, khi đó $f'\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=f'\left( {{x}_{2}} \right)+2x_{1}^{2}+4{{x}_{1}}{{x}_{2}}.$
Ta cố định ${{x}_{2}}$ khi đó ${{f}^{\prime }}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)={{f}^{\prime }}\left( {{x}_{1}} \right)+2x_{2}^{2}+4{{x}_{1}}{{x}_{2}}$.
Do đó, $f^{\prime}\left(x_{2}\right)-2 x_{2}{ }^{2}=f^{\prime}\left(x_{1}\right)-2 x_{1}{ }^{2}, \forall x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}$. Từ đó, ta thắy $f^{\prime}(x)-2 x^{2}$ là hàm hằng. Do đó tồn tại các hằng số $a$ và $b$ sao cho $f(x)=\dfrac{2}{3} x^{3}+a x+b$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Từ đắng thức trong đề bài, thay $x_{1}=x_{2}=0$, ta có $f(0)=\dfrac{1}{3}\Rightarrow b=\dfrac{1}{3}$.
Theo bài ra $\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{3f(h)-1}{6h}=\dfrac{2}{3}$ $\Leftrightarrow \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{3\left( f(h)-\dfrac{1}{3} \right)}{6h}=\dfrac{2}{3}$ $\Leftrightarrow \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{\left( f(h)-\dfrac{1}{3} \right)}{h}=\dfrac{4}{3}$
$\Leftrightarrow f'\left( 0 \right)=\dfrac{4}{3}$ $\Rightarrow a=\dfrac{4}{3}$.
Vậy $f(x)=\dfrac{2{{x}^{3}}+4x+1}{3}$ $\Rightarrow f\left( 2 \right)=\dfrac{25}{3}$.
---------- HẾT ----------
Đáp án D.