Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\lim...

Từ $f(x_1+x_2)=f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+2x_1{x}_2(x_1+x_2)-{\displaystyle \frac{1}{3}}$.
Ta cố định $x_1$, khi đó $f^{\prime }(x_1+x_2)=f^{\prime }\left(x_2\right)+2x_1^2+4x_1{x}_2.$
Ta cố định $x_2$ khi đó $f^{\prime }(x_1+x_2)=f^{\prime }\left(x_1\right)+2x_2^2+4x_1{x}_2$.
Do đó, $f^{\prime }\left(x_2\right)-2x_2{}^2=f^{\prime }\left(x_1\right)-2x_1{}^2,\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in \mathbb{R}$. Từ đó, ta thắy $f^{\prime }(x)-2x^2$ là hàm hằng. Do đó tồn tại các hằng số $a$ và $b$ sao cho $f(x)={\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3+ax+b$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Từ đắng thức trong đề bài, thay $x_1=x_2=0$, ta có $f(0)={\displaystyle \frac{1}{3}}\Rightarrow b={\displaystyle \frac{1}{3}}$.
Theo bài ra $\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{3f(h)-1}{6h}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ $\iff \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{3(f(h)-{\displaystyle \frac{1}{3}})}{6h}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ $\iff \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{(f(h)-{\displaystyle \frac{1}{3}})}{h}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$
$\iff f^{\prime }\left(0\right)={\displaystyle \frac{4}{3}}$ $\Rightarrow a={\displaystyle \frac{4}{3}}$.
Vậy $f(x)={\displaystyle \frac{2x^3+4x+1}{3}}$ $\Rightarrow f\left(2\right)={\displaystyle \frac{25}{3}}$.