Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại $\forall x\in \mathbb{R}$, hàm...

Quan sát đồ thị, nhận thấy đồ thị hàm số ${f}'(x)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ đi qua các điểm $O\left( 0;0 \right); A\left( -1;0 \right); B\left( 1;0 \right)$. Khi đó ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& c=0 \\
& a+b=-1 \\
& a-b=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=-1 \\
& c=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {f}'\left( x \right)={{x}^{3}}-x\Rightarrow {f}''\left( x \right)=3{{x}^{2}}-1$.
Đặt: $g\left( x \right)=f\left( {f}'\left( x \right) \right)$
Ta có: ${g}'\left( x \right)={{\left( f\left[ {f}'\left( x \right) \right] \right)}^{\prime }}={f}' \left[ {f}'\left( x \right) \right].{f}''\left( x \right)=\left[ {{\left( {{x}^{3}}-x \right)}^{3}}-\left( {{x}^{3}}-x \right) \right]\left( 3{{x}^{2}}-1 \right)$
$=x\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( {{x}^{3}}-x-1 \right)\left( {{x}^{3}}-x+1 \right)\left( 3{{x}^{2}}-1 \right)$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
& x=-1 \\
& {{x}^{3}}-x-1=0 \\
& {{x}^{3}}-x+1=0 \\
& 3{{x}^{2}}-1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
& x=-1 \\
& x=a (\approx 0,76) \\
& x=b \left( b\approx -1,32 \right) \\
& x=\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng biến thiên:

* Cách xét dấu ${g}'\left( x \right)$ : chọn $x=2\in \left( 1;+\infty \right)$ ta có: ${g}'\left( 2 \right)>0\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0\forall x\in \left( 1;+\infty \right)$, từ đó suy ra dấu của ${g}'\left( x \right)$ trên các khoảng còn lại.
Dựa vào BBT suy ra hàm số có 7 điểm cực trị.
* Trắc nghiệm: Số điểm cực trị bằng số nghiệm đơn ( nghiệm bội lẻ) của phương trình đa thức ${g}'\left( x \right)=0$. PT ${g}'\left( x \right)=0$ có 7 nghiệm phân biệt nên hàm số đã cho có 7 điểm cực trị.