Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, $f\left( -6 \right)<0$ và bảng xét dấu đạo hàm
Hàm số $y=\left| 3f\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)+2{{x}^{6}}-3{{x}^{4}}-12{{x}^{2}} \right|$ có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
A. $7$.
B. $4$.
C. $1$.
D. $5$.
Hàm số $y=\left| 3f\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)+2{{x}^{6}}-3{{x}^{4}}-12{{x}^{2}} \right|$ có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
A. $7$.
B. $4$.
C. $1$.
D. $5$.
Đặt $g\left( x \right)=3f\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)+2{{x}^{6}}-3{{x}^{4}}-12{{x}^{2}}$
$\Rightarrow $ ${g}'\left( x \right)=-\left( 12{{x}^{3}}-24x \right).{f}'\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)+12{{x}^{5}}-12{{x}^{3}}-24x$
$=-12x\left( {{x}^{2}}-2 \right).{f}'\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)+12x\left( {{x}^{4}}-{{x}^{2}}-2 \right)$
$=-12x\left( {{x}^{2}}-2 \right).\left[ {f}'\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)-\left( {{x}^{2}}+1 \right) \right]$.
Khi đó ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {f}'\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)-\left( {{x}^{2}}+1 \right)=0 \\
& {{x}^{2}}-2=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm \sqrt{2} \\
& {f}'\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)={{x}^{2}}+1 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có $-{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6=-{{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}-2\le -2, \forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó ${f}'\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)\le {f}'\left( -2 \right)=0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Mà ${{x}^{2}}+1\ge 1,\forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó phương trình ${f}'\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)={{x}^{2}}+1$ vô nghiệm.
Hàm số $g\left( x \right)=3f\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)+2{{x}^{6}}-3{{x}^{4}}-12{{x}^{2}}$ Có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Suy ra hàm số $g\left( x \right)=3f\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)+2{{x}^{6}}-3{{x}^{4}}-12{{x}^{2}}$ Có 3 điểm Cực tiểu.
Mà $g\left( 0 \right)=3f\left( -6 \right)<0$
Vậy $y=\left| 3f\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)+2{{x}^{6}}-3{{x}^{4}}-12{{x}^{2}} \right|$ Có $5$ điểm Cực trị
$\Rightarrow $ ${g}'\left( x \right)=-\left( 12{{x}^{3}}-24x \right).{f}'\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)+12{{x}^{5}}-12{{x}^{3}}-24x$
$=-12x\left( {{x}^{2}}-2 \right).{f}'\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)+12x\left( {{x}^{4}}-{{x}^{2}}-2 \right)$
$=-12x\left( {{x}^{2}}-2 \right).\left[ {f}'\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)-\left( {{x}^{2}}+1 \right) \right]$.
Khi đó ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {f}'\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)-\left( {{x}^{2}}+1 \right)=0 \\
& {{x}^{2}}-2=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm \sqrt{2} \\
& {f}'\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)={{x}^{2}}+1 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có $-{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6=-{{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}-2\le -2, \forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó ${f}'\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)\le {f}'\left( -2 \right)=0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Mà ${{x}^{2}}+1\ge 1,\forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó phương trình ${f}'\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)={{x}^{2}}+1$ vô nghiệm.
Hàm số $g\left( x \right)=3f\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)+2{{x}^{6}}-3{{x}^{4}}-12{{x}^{2}}$ Có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Suy ra hàm số $g\left( x \right)=3f\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)+2{{x}^{6}}-3{{x}^{4}}-12{{x}^{2}}$ Có 3 điểm Cực tiểu.
Mà $g\left( 0 \right)=3f\left( -6 \right)<0$
Vậy $y=\left| 3f\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)+2{{x}^{6}}-3{{x}^{4}}-12{{x}^{2}} \right|$ Có $5$ điểm Cực trị
Đáp án D.