Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và...

Đặt nên khi tăng trên thì tăng trên .
Do đó hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi hàm số nghịch biến trên .
Dễ thấy, điều kiện cần để hàm số nghịch biến trên là phương trình vô nghiệm trên .
Với điều kiện nghịch biến trên khi và chỉ khi

Dựa vào đồ thị trên ta có , do đó .
Khi đó: . (điều kiện này luôn đảm bảo thỏa mãn )
Hay
Xét hàm số trên có , nên nghịch biến trên .

Vậy .
Vì nguyên dương nên .
Cách 2.

Đặt nên khi tăng trên thì tăng trên .
Do đó hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi hàm số nghịch biến trên .
Xét có .
.
Do đó nghịch biến trên .
Từ đây suy ra: nghịch biến trên khoảng khi và chỉ khi , hay .
Vì nguyên dương nên .