Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và...

$g(x)=0\Leftrightarrow {f}'({{x}^{3}}+2)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& x=0 \\
& x=2 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {f}'\left( -6 \right)=0 \\
& {f}'\left( 2 \right)=0 \\
& {f}'\left( 10 \right)=0 \\
& {f}'\left( 29 \right)=0 \\
\end{aligned} \right. $, suy ra $ {f}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-6 \\
& x=2 \\
& x=10 \\
& x=29 \\
\end{aligned} \right.$.
Xét hàm số $h\left( x \right)=f(x-m)\Rightarrow {h}'\left( x \right)={f}'(x-m)$
Ta có ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'(x-m)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x-m=-6 \\
& x-m=2 \\
& x-m=10 \\
& x-m=29 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=m-6 \\
& x=m+2 \\
& x=m+10 \\
& x=m+29 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng xét dấu theo khoảng như sau
(với ${h}'\left( m \right)={f}'(0)=g\left( -\sqrt[3]{2} \right)<0$ )

Để hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ; 0 \right)$ thì $m-6\ge 0\Leftrightarrow m\ge 6$
Suy ra $m\in \left\{ 6;7;8;....;2023 \right\}$, vậy có 2018 giá trị nguyên của m thỏa mãn.