Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(x)+x{f}'(x)=4{{x}^{3}}+4x+2,\forall x\in \mathbb{R}$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$ và $y=f^{\prime}(x)$ bằng
A. $\dfrac{5}{2}$.
B. $\dfrac{4}{3}$.
C. $\dfrac{1}{2}$.
D. $\dfrac{1}{4}$.
A. $\dfrac{5}{2}$.
B. $\dfrac{4}{3}$.
C. $\dfrac{1}{2}$.
D. $\dfrac{1}{4}$.
Ta có: $f(x)+x.{f}'(x)=4{{x}^{3}}+4x+2$ $\Leftrightarrow (x{)}'\cdot f(x)+x.{f}'(x)=4{{x}^{3}}+4x+2$
$\Leftrightarrow [x.f(x){]}'=4{{x}^{3}}+4x+2$ $\Leftrightarrow x.f(x)={{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+2x+C$ $\Leftrightarrow f(x)=\dfrac{{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+2x+C}{x}$
Vì do $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên $C=0$. Do đó $f(x)={{x}^{3}}+2x+2$ $\Rightarrow {f}'(x)=3{{x}^{2}}+2$
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $y=f(x)$ và $y={f}'(x)$, ta có:
${{x}^{3}}+2x+2=3{{x}^{2}}+2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right. $. Vậy diện tích phẳng giới hạn bởi các đường $ y=f(x) $ và $ y={f}'(x) $ là: $ S=\int\limits_{0}^{2}{\left| f(x)-{f}'(x) \right|\text{d}x}=\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow [x.f(x){]}'=4{{x}^{3}}+4x+2$ $\Leftrightarrow x.f(x)={{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+2x+C$ $\Leftrightarrow f(x)=\dfrac{{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+2x+C}{x}$
Vì do $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên $C=0$. Do đó $f(x)={{x}^{3}}+2x+2$ $\Rightarrow {f}'(x)=3{{x}^{2}}+2$
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $y=f(x)$ và $y={f}'(x)$, ta có:
${{x}^{3}}+2x+2=3{{x}^{2}}+2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right. $. Vậy diện tích phẳng giới hạn bởi các đường $ y=f(x) $ và $ y={f}'(x) $ là: $ S=\int\limits_{0}^{2}{\left| f(x)-{f}'(x) \right|\text{d}x}=\dfrac{1}{2}$
Đáp án C.