Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ...

Ta có: $y=y={f}'\left( {{x}^{2}}-2x \right)={f}'\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}-1 \right]$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-1 \right)+\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}+1$ :
${g}'\left( x \right)=2xf\left( {{x}^{2}}-1 \right)+2{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2x=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}}-1 \right)+x=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Đặt $x=t-1$ phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành
${f}'\left[ {{\left( t-1 \right)}^{2}}-1 \right]+t-1=0\Leftrightarrow {f}'\left[ {{\left( t-1 \right)}^{2}}-1 \right]=1-t\left( 2 \right)$.
Vẽ đồ thị hàm số $y=1-x$ lên cùng một đồ thị ${f}'\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}-1 \right]$
$\text{ (2) }\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
t=-1 \\
t=a\quad \left( 0<a<1 \right) \\
t=2 \\
t=b\quad \left( 2<b<3 \right) \\
\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& x=a-1\in \left( -1 ; 0 \right) \\
& x=1 \\
& x=b-1\in \left( 1 ; 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng xét dấu ${g}'\left( x \right)$.

Suy ra: hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên các khoảng $\left( -2;a-1 \right);\left( 0,1 \right);\left( b-1;+\infty \right)$
Với $a-1\in \left( -1 ; 0 \right)$ và $b-1\in \left( 1 ; 2 \right)$ chọn $\left( -2;-1 \right)\subset \left( -2;a-1 \right)$