Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết...

Cách 1. Gọi phương trình $y=f^{\prime }(x)$ có dạng $y=g(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+3$, khi đó ta có
$\{\begin{array}{rl}& g(1)=0\\ & g(3)=0\\ & g^{\prime }(1)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& a+b+c+3=0\\ & 27a+9b+3c+3=0\\ & 3a+2b+c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& a+b+c=-3\\ & 9a+3b+c=-1\\ & 3a+2b+c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& a=-1\\ & b=5\\ & c=-7\end{array}$
$\Rightarrow y=f^{\prime }(x)=-x^3+5x^2-7x+3$
Lấy nguyên hàm f'(x) ta được
$\int (-x^3+5x^2-7x+3)dx={\displaystyle \frac{-1}{4}}{x}^4+{\displaystyle \frac{5}{3}}{x}^3-{\displaystyle \frac{7}{2}}{x}^2+3x+C=f(x)$
Vì $f(0)=0\Rightarrow C=0\Rightarrow y=f(x)={\displaystyle \frac{-1}{4}}{x}^4+{\displaystyle \frac{5}{3}}{x}^3-{\displaystyle \frac{7}{2}}{x}^2+3x$. Ta có bảng biến thiên

Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$ ta suy ra được đồ thị hàm số $y=\left|f\left(\left|x\right|\right)\right|$.
Do đó phương trình $\left|f\left(\left|x\right|\right)\right|=m$ có nhiều nhất là 6 nghiệm.
Cách 2.
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên

Từ đồ thị hàm số y = f (x) ta suy ra được đồ thị hàm số $y=\left|f\left(\left|x\right|\right)\right|$
Do đó phương trình $\left|f\left(\left|x\right|\right)\right|=m$ có nhiều nhất là 6 nghiệm.