Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết...

Cách 1. Gọi phương trình $y=f'(x)$ có dạng $y=g(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+3$, khi đó ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& g(1)=0 \\
& g(3)=0 \\
& g'(1)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+b+c+3=0 \\
& 27a+9b+3c+3=0 \\
& 3a+2b+c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+b+c=-3 \\
& 9a+3b+c=-1 \\
& 3a+2b+c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-1 \\
& b=5 \\
& c=-7 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow y=f'(x)=-{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}-7x+3$
Lấy nguyên hàm f'(x) ta được
$\int{\left( -{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}-7x+3 \right)}dx=\dfrac{-1}{4}{{x}^{4}}+\dfrac{5}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{7}{2}{{x}^{2}}+3x+C=f(x)$
Vì $f(0)=0\Rightarrow C=0\Rightarrow y=f(x)=\dfrac{-1}{4}{{x}^{4}}+\dfrac{5}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{7}{2}{{x}^{2}}+3x$. Ta có bảng biến thiên

Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$ ta suy ra được đồ thị hàm số $y=\left| f\left( \left| x \right| \right) \right|$.
Do đó phương trình $\left| f\left( \left| x \right| \right) \right|=m$ có nhiều nhất là 6 nghiệm.
Cách 2.
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên

Từ đồ thị hàm số y = f (x) ta suy ra được đồ thị hàm số $y=\left| f\left( \left| x \right| \right) \right|$
Do đó phương trình $\left| f\left( \left| x \right| \right) \right|=m$ có nhiều nhất là 6 nghiệm.