Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên khoảng $(-\infty...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm liên tục trên khoảng

(- \infty; - 1)

và thỏa mãn

(x^{2} + x) f^{'} (x) + f (x) = x^{2} + x, \forall x < - 1

. Giả sử

f (- 4)

được viết dưới dạng

a + b \ln 3; a, b \in Q

. Biết

f (- 2) = - \frac{3}{2}

. Tính

b - a

A.

\frac{9}{2}

B.

- \frac{9}{2}

C. 3
D.

- 3

Ta có

f^{'} (x) + \frac{f (x)}{x^{2} + x} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{x + 1} . f^{'} (x) + {(\frac{x}{x + 1})}^{'} . f (x) = \frac{x}{x + 1}

\Leftrightarrow {[\frac{x}{x +} . f (x)]}^{'} = \frac{x}{x + 1} \Leftrightarrow \frac{x}{x + 1} . f (x) = \int \frac{x}{x + 1} d x = x - \ln | x + 1 | + C

(*)
Mà

f (- 2) = - \frac{3}{2} \Rightarrow 2. (- \frac{3}{2}) = - 2 + C \Leftrightarrow - 3 = - 2 + C \Rightarrow C = - 1

Thay

x = - 4

vào (*) ta được

\frac{4}{3} f (- 4) = - 5 - \ln 3 \Leftrightarrow f (- 4) = - \frac{15}{4} - \frac{3}{4} \ln 3

Vậy

a = - \frac{15}{4}; b = - \frac{3}{4} \to b - a = \frac{15}{4} - \frac{3}{4} = 3

.

Đáp án C.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng $(-\infty...