Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên khoảng $(-\infty ;-1)$ và thỏa mãn $({{x}^{2}}+x)f'(x)+f(x)={{x}^{2}}+x,\forall x<-1$. Giả sử $f(-4)$ được viết dưới dạng $a+b\ln 3;a,b\in \mathbb{Q}$. Biết $f(-2)=-\dfrac{3}{2}$. Tính $b-a$
A. $\dfrac{9}{2}$
B. $-\dfrac{9}{2}$
C. 3
D. $-3$
A. $\dfrac{9}{2}$
B. $-\dfrac{9}{2}$
C. 3
D. $-3$
Ta có ${f}'\left( x \right)+\dfrac{f\left( x \right)}{{{x}^{2}}+x}=1\Leftrightarrow \dfrac{x}{x+1}.{f}'\left( x \right)+{{\left( \dfrac{x}{x+1} \right)}^{\prime }}.f\left( x \right)=\dfrac{x}{x+1}$
$\Leftrightarrow {{\left[ \dfrac{x}{x+}.f\left( x \right) \right]}^{\prime }}=\dfrac{x}{x+1}\Leftrightarrow \dfrac{x}{x+1}.f\left( x \right)=\int{\dfrac{x}{x+1}dx}=x-\ln \left| x+1 \right|+C$ (*)
Mà $f\left( -2 \right)=-\dfrac{3}{2}\Rightarrow 2.\left( -\dfrac{3}{2} \right)=-2+C\Leftrightarrow -3=-2+C\Rightarrow C=-1$
Thay $x=-4$ vào (*) ta được $\dfrac{4}{3}f\left( -4 \right)=-5-\ln 3\Leftrightarrow f\left( -4 \right)=-\dfrac{15}{4}-\dfrac{3}{4}\ln 3$
Vậy $a=-\dfrac{15}{4};b=-\dfrac{3}{4}\to b-a=\dfrac{15}{4}-\dfrac{3}{4}=3$.
$\Leftrightarrow {{\left[ \dfrac{x}{x+}.f\left( x \right) \right]}^{\prime }}=\dfrac{x}{x+1}\Leftrightarrow \dfrac{x}{x+1}.f\left( x \right)=\int{\dfrac{x}{x+1}dx}=x-\ln \left| x+1 \right|+C$ (*)
Mà $f\left( -2 \right)=-\dfrac{3}{2}\Rightarrow 2.\left( -\dfrac{3}{2} \right)=-2+C\Leftrightarrow -3=-2+C\Rightarrow C=-1$
Thay $x=-4$ vào (*) ta được $\dfrac{4}{3}f\left( -4 \right)=-5-\ln 3\Leftrightarrow f\left( -4 \right)=-\dfrac{15}{4}-\dfrac{3}{4}\ln 3$
Vậy $a=-\dfrac{15}{4};b=-\dfrac{3}{4}\to b-a=\dfrac{15}{4}-\dfrac{3}{4}=3$.
Đáp án C.