Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 1;4 \right]$, đồng biến trên đoạn $\left[ 1;4 \right]$ và thỏa mãn đẳng thức $x+2\text{x}f(x)={{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}},\forall x\in \left[ 1;4 \right]$. Biết rằng $f(1)=\dfrac{3}{2}$. Tính $I=\int\limits_{1}^{4}{f(x)d\text{x}}$.
A. $I=\dfrac{1186}{45}$
B. $I=\dfrac{1174}{45}$
C. $I=\dfrac{1222}{45}$
D. $I=\dfrac{1201}{45}$
A. $I=\dfrac{1186}{45}$
B. $I=\dfrac{1174}{45}$
C. $I=\dfrac{1222}{45}$
D. $I=\dfrac{1201}{45}$
HD: Vì $y=f(x)$ là hàm số đồng biến trên $\left[ 1;4 \right]\Rightarrow f(x)\ge f(1)=\dfrac{3}{2}$
Khi đó $x+2\text{x}.f(x)={{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}\Leftrightarrow \sqrt{x\left[ 2f(x)+1 \right]}={f}'(x)\Leftrightarrow \dfrac{{f}'(x)}{\sqrt{2f(x)+1}}=\sqrt{x}$ (*)
Lấy nguyên hàm 2 vế của (*), ta được $\int{\dfrac{{f}'(x)}{\sqrt{2f(x)+1}}d\text{x}}=\int{\sqrt{x}d\text{x}}=\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+C$ (1)
Đặt $t=\sqrt{2f(x)+1}\Leftrightarrow dt=\dfrac{{f}'(x)}{\sqrt{2f(x)+1}}d\text{x}\Rightarrow \int{\dfrac{{f}'(x)}{\sqrt{2f(x)+1}}d\text{x}}=\int{dt}=t$ (2)
Từ (1), (2) suy ra $\sqrt{2f(x)+1}=\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+C$ mà $f(1)=\dfrac{3}{2}\Rightarrow \sqrt{2.\dfrac{3}{2}+1}=C+\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow C=\dfrac{4}{3}$.
Do đó $\sqrt{2f(x)+1}=\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow f(x)=\dfrac{1}{2}\left[ {{\left( \dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+\dfrac{4}{3} \right)}^{2}}-1 \right]$. Vậy $\int\limits_{1}^{4}{f(x)d\text{x}}=\dfrac{1186}{45}$.
Khi đó $x+2\text{x}.f(x)={{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}\Leftrightarrow \sqrt{x\left[ 2f(x)+1 \right]}={f}'(x)\Leftrightarrow \dfrac{{f}'(x)}{\sqrt{2f(x)+1}}=\sqrt{x}$ (*)
Lấy nguyên hàm 2 vế của (*), ta được $\int{\dfrac{{f}'(x)}{\sqrt{2f(x)+1}}d\text{x}}=\int{\sqrt{x}d\text{x}}=\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+C$ (1)
Đặt $t=\sqrt{2f(x)+1}\Leftrightarrow dt=\dfrac{{f}'(x)}{\sqrt{2f(x)+1}}d\text{x}\Rightarrow \int{\dfrac{{f}'(x)}{\sqrt{2f(x)+1}}d\text{x}}=\int{dt}=t$ (2)
Từ (1), (2) suy ra $\sqrt{2f(x)+1}=\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+C$ mà $f(1)=\dfrac{3}{2}\Rightarrow \sqrt{2.\dfrac{3}{2}+1}=C+\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow C=\dfrac{4}{3}$.
Do đó $\sqrt{2f(x)+1}=\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow f(x)=\dfrac{1}{2}\left[ {{\left( \dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+\dfrac{4}{3} \right)}^{2}}-1 \right]$. Vậy $\int\limits_{1}^{4}{f(x)d\text{x}}=\dfrac{1186}{45}$.
Đáp án A.