Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là $f^{\prime}(x)=\dfrac{\sqrt{x}+2}{2 x}, \forall x \in(0 ;+\infty)$ và $f(1)=1$. Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ thoả mãn $F(1)=-\dfrac{1}{3}$, khi đó $F(9)$
A. $\dfrac{8}{3}+8 \ln 3$
B. $9+18 \ln 3$.
C. $9+27 \ln 2$.
D. $-\dfrac{8}{3}+8 \ln 3$.
A. $\dfrac{8}{3}+8 \ln 3$
B. $9+18 \ln 3$.
C. $9+27 \ln 2$.
D. $-\dfrac{8}{3}+8 \ln 3$.
Ta có $f^{\prime}(x)=\dfrac{\sqrt{x}+2}{2 x}=\dfrac{1}{2 \sqrt{x}}+\dfrac{1}{x} \Rightarrow f(x)=\int\left(\dfrac{1}{2 \sqrt{x}}+\dfrac{1}{x}\right) \mathrm{d} x=\sqrt{x}+\ln |x|+C$.
Ta có $f(1)=1 \Rightarrow C=0 \Rightarrow f(x)=\sqrt{x}+\ln |x|$
Ta có $F(x)=\int(\sqrt{x}+\ln |x|) \mathrm{d} x=\dfrac{2}{3} \sqrt{x^{3}}+\int \ln |x| \mathrm{d} x=\dfrac{2}{3} \sqrt{x^{3}}+x \cdot \ln |x|-\int x d(\ln |x|)$
$
=\dfrac{2}{3} \sqrt{x^{3}}+x \cdot \ln |x|-\int d x=\dfrac{2}{3} \sqrt{x^{3}}+x \cdot \ln |x|-x+C_{1} \text {. }
$
Ta có $F(1)=-\dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{2}{3}-1+C_{1}=-\dfrac{1}{3} \Rightarrow C_{1}=0$.
Suy ra $F(9)=18+9 \cdot \ln 9-9=9+18 \ln 3$.
Ta có $f(1)=1 \Rightarrow C=0 \Rightarrow f(x)=\sqrt{x}+\ln |x|$
Ta có $F(x)=\int(\sqrt{x}+\ln |x|) \mathrm{d} x=\dfrac{2}{3} \sqrt{x^{3}}+\int \ln |x| \mathrm{d} x=\dfrac{2}{3} \sqrt{x^{3}}+x \cdot \ln |x|-\int x d(\ln |x|)$
$
=\dfrac{2}{3} \sqrt{x^{3}}+x \cdot \ln |x|-\int d x=\dfrac{2}{3} \sqrt{x^{3}}+x \cdot \ln |x|-x+C_{1} \text {. }
$
Ta có $F(1)=-\dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{2}{3}-1+C_{1}=-\dfrac{1}{3} \Rightarrow C_{1}=0$.
Suy ra $F(9)=18+9 \cdot \ln 9-9=9+18 \ln 3$.
Đáp án B.