Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm là ${{f}^{\prime }}(x)=\ln \left(...

The Funny · 28/5/23

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm là

f^{'} (x) = \ln (x + a), \forall x > - a, a

là số thực dương và

f (0) = a \ln a

. Biết

\int_{0}^{a} f (x) d x = 0,

khi đó mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

a \in (2; e) .

B.

a \in (0; 1) .

C.

a \in (1; \sqrt{2}) .

D.

a \in (\frac{e}{2}; 2) .

Ta có:

f^{'} (x) = \ln (x + a) \Rightarrow f (x) = (x + a) \ln (x + a) - x + C

.
Vì

f (0) = a \ln a \Rightarrow (0 + a) \ln (0 + a) - 0 + C = a \ln a \Rightarrow C = 0

\Rightarrow f (x) = (x + a) \ln (x + a) - x

\int_{0}^{a} f (x) d x = \int_{0}^{a} ((x + a) \ln (x + a) - x) d x = \int_{0}^{a} (x + a) \ln (x + a) d x - \int_{0}^{a} x d x = I_{1} - I_{2}

.

\begin{aligned} I_{1} = \int_{0}^{a} (x + a) \ln (x + a) d x = {(\frac{x^{2}}{2} + a x) . \ln (x + a) |}_{0}^{a} - \int_{0}^{a} (\frac{x^{2}}{2} + a x) . \frac{1}{x + a} d x \\ = \frac{3 a^{2}}{2} \ln (2 a) - \int_{0}^{a} (\frac{1}{2} (x + a) - \frac{1}{2} a^{2} . \frac{1}{x + a}) d x = \frac{3 a^{2}}{2} \ln (2 a) - {[\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + a x) - \frac{1}{2} a^{2} . \ln (x + a)] |}_{0}^{a} \\ = 2 a^{2} \ln (2 a) - \frac{1}{2} a^{2} \ln a - \frac{3 a^{2}}{4} \end{aligned}

I_{2} = \int_{0}^{a} x d x = \frac{a^{2}}{2}

\Rightarrow \int_{0}^{a} f (x) d x = 2 a^{2} \ln 2 a - \frac{1}{2} a^{2} \ln a - \frac{3 a^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{2} = 2 a^{2} \ln 2 a - \frac{1}{2} a^{2} \ln a - \frac{5 a^{2}}{4}

Theo giả thiết

\int_{0}^{a} f (x) d x = 0

\begin{aligned} \Rightarrow 2 a^{2} \ln 2 a - \frac{1}{2} a^{2} \ln a - \frac{5 a^{2}}{4} = 0 \Rightarrow 2 \ln 2 a - \frac{1}{2} \ln a = \frac{5}{4} (a > 0) \\ \Rightarrow 8 \ln 2 a - 2 \ln a = 5 \Rightarrow \ln 256 a^{6} = 5 \Rightarrow a = \sqrt[6]{\frac{e^{5}}{256}} \approx 0, 58 \in (0, 1) \end{aligned}

Đáp án B.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm là ${{f}^{\prime }}(x)=\ln \left(...