Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm ${f}'(x)=x{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+mx+9 \right)$ với mọi $\forall x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số $g(x)=f(3-x)$ đồng biến trên khoảng $\left( 3;+\infty \right)$ ?
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
Từ giả thiết suy ra ${f}'\left( 3-x \right)=\left( 3-x \right){{\left( 2-x \right)}^{2}}\left[ {{\left( 3-x \right)}^{2}}+m\left( 3-x \right)+9 \right]$
Ta có ${g}'\left( x \right)=-{f}'\left( 3-x \right)$
Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 3;+\infty \right)$ khi và chỉ khi
${g}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( 3;+\infty \right)\Leftrightarrow {f}'\left( 3-x \right)\le 0,\forall x\in \left( 3;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow \left( 3-x \right){{\left( 2-x \right)}^{2}}\left[ {{\left( 3-x \right)}^{2}}+m\left( 3-x \right)+9 \right]\le 0,\forall x\in \left( 3;+\infty \right)$
$\forall x\in \left( 3;+\infty \right)$ thì $\left( 3-x \right)\le 0,{{\left( 2-x \right)}^{2}}\ge 0$, suy ra:
$\begin{aligned}
& {{\left( 3-x \right)}^{2}}+m\left( 3-x \right)+9\ge 0,\forall x\in \left( 3;+\infty \right) \\
& \Leftrightarrow m\le \dfrac{{{\left( 3-x \right)}^{2}}+9}{\left( x-3 \right)},\forall x\in \left( 3;+\infty \right) \\
& \Leftrightarrow m\le \underset{\left( 3;+\infty \right)}{\mathop{\min }} \dfrac{{{\left( 3-x \right)}^{2}}+9}{\left( x-3 \right)} \\
\end{aligned}$
Ta có $\dfrac{{{\left( 3-x \right)}^{2}}+9}{\left( x-3 \right)}=\left( x-3 \right)+\dfrac{9}{x-3}\ge 2\sqrt{\left( x-3 \right).\dfrac{9}{x-3}}=6$
Suy ra $m\le 6$
Vì m nguyên dương suy ra $m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=-{f}'\left( 3-x \right)$
Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 3;+\infty \right)$ khi và chỉ khi
${g}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( 3;+\infty \right)\Leftrightarrow {f}'\left( 3-x \right)\le 0,\forall x\in \left( 3;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow \left( 3-x \right){{\left( 2-x \right)}^{2}}\left[ {{\left( 3-x \right)}^{2}}+m\left( 3-x \right)+9 \right]\le 0,\forall x\in \left( 3;+\infty \right)$
$\forall x\in \left( 3;+\infty \right)$ thì $\left( 3-x \right)\le 0,{{\left( 2-x \right)}^{2}}\ge 0$, suy ra:
$\begin{aligned}
& {{\left( 3-x \right)}^{2}}+m\left( 3-x \right)+9\ge 0,\forall x\in \left( 3;+\infty \right) \\
& \Leftrightarrow m\le \dfrac{{{\left( 3-x \right)}^{2}}+9}{\left( x-3 \right)},\forall x\in \left( 3;+\infty \right) \\
& \Leftrightarrow m\le \underset{\left( 3;+\infty \right)}{\mathop{\min }} \dfrac{{{\left( 3-x \right)}^{2}}+9}{\left( x-3 \right)} \\
\end{aligned}$
Ta có $\dfrac{{{\left( 3-x \right)}^{2}}+9}{\left( x-3 \right)}=\left( x-3 \right)+\dfrac{9}{x-3}\ge 2\sqrt{\left( x-3 \right).\dfrac{9}{x-3}}=6$
Suy ra $m\le 6$
Vì m nguyên dương suy ra $m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}$.
Đáp án B.