Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm ${f}'(x)={{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-1 \right),\forall x\in \mathbb{R}$. Hàm số $y=2 f(-x)$ đồng biến trên khoảng
A. $(2 ;+\infty)$.
B. $(-\infty ;-1)$.
C. $(-1 ; 1)$.
D. $(0 ; 2)$.
A. $(2 ;+\infty)$.
B. $(-\infty ;-1)$.
C. $(-1 ; 1)$.
D. $(0 ; 2)$.
Ta có ${f}'(x)={{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-1 \right),$ suy ra $f(x)=\int{{{f}'}}(x)dx=\int{{{x}^{2}}}\left( {{x}^{2}}-1 \right)dx=\dfrac{{{x}^{5}}}{5}-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+C.$
Suy ra $y=g(x)=2 f(-x)=2\left[\dfrac{(-x)^{5}}{5}-\dfrac{(-x)^{3}}{3}+C\right]=-\dfrac{2 x^{5}}{5}+\dfrac{2 x^{3}}{3}+2 C$.
Ta có: ${g}'(x)=-2{f}'(-x)=-2{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
x=\pm 1 \\
\end{array} \right.$.
Bảng xét dấu ${g}'(x)$
Dựa vào bảng xét dấu, suy ra hàm số $y=2 f(-x)$ đồng biến trên $(-1 ; 1)$.
Suy ra $y=g(x)=2 f(-x)=2\left[\dfrac{(-x)^{5}}{5}-\dfrac{(-x)^{3}}{3}+C\right]=-\dfrac{2 x^{5}}{5}+\dfrac{2 x^{3}}{3}+2 C$.
Ta có: ${g}'(x)=-2{f}'(-x)=-2{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
x=\pm 1 \\
\end{array} \right.$.
Bảng xét dấu ${g}'(x)$
Dựa vào bảng xét dấu, suy ra hàm số $y=2 f(-x)$ đồng biến trên $(-1 ; 1)$.
Đáp án C.