Google
Câu hỏi: Cho hàm số ${y=f(x)}$ có đạo hàm ${f'(x)}$ liên tục trên ${\mathbb{R}}$. Miền hình phẳng trong hình vẽ được giới hạn bởi đồ thị hàm số ${y=f'(x)}$ và trục hoành đồng thời có diện tích ${S=a}$. Biết rằng ${\int\limits_0^1(x+1)f'(x)\mathrm{ d}x=b}$ và ${f(3)=c}$. Tính ${I=\int\limits_0^1f(x)\mathrm{ d}x}$.
A. ${I=a-b+c}$.
B. ${I=-a+b-c}$.
C. ${I=-a+b+c}$.
D. ${I=a-b-c}$.
${\begin{aligned}S=a\Leftrightarrow \int\limits_0^1f'(x)\mathrm{ d}x-\int\limits_1^3f'(x)\mathrm{ d}x=a\Leftrightarrow 2f(1)-f(0)-f(3)=a\Leftrightarrow 2f(1)-f(0)=a+c.\end{aligned}}$
Áp dụng công thức tích phân từng phần với ${u=x+1}$ và ${\mathrm{ d}v=f'(x)\mathrm{ d}x}$, ta được
$\begin{aligned}
& \int\limits_{0}^{1}{(x+1)}{f}'(x)\text{d}x=b\Leftrightarrow (x+1)f(x)|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{f}(x)\text{d}x=b \\
& \Leftrightarrow 2f(1)-f(0)-I=b\Leftrightarrow a+c-I=b\Leftrightarrow I=a-b+c \\
\end{aligned}$
B. ${I=-a+b-c}$.
C. ${I=-a+b+c}$.
D. ${I=a-b-c}$.
Ta có${\begin{aligned}S=a\Leftrightarrow \int\limits_0^1f'(x)\mathrm{ d}x-\int\limits_1^3f'(x)\mathrm{ d}x=a\Leftrightarrow 2f(1)-f(0)-f(3)=a\Leftrightarrow 2f(1)-f(0)=a+c.\end{aligned}}$
Áp dụng công thức tích phân từng phần với ${u=x+1}$ và ${\mathrm{ d}v=f'(x)\mathrm{ d}x}$, ta được
$\begin{aligned}
& \int\limits_{0}^{1}{(x+1)}{f}'(x)\text{d}x=b\Leftrightarrow (x+1)f(x)|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{f}(x)\text{d}x=b \\
& \Leftrightarrow 2f(1)-f(0)-I=b\Leftrightarrow a+c-I=b\Leftrightarrow I=a-b+c \\
\end{aligned}$
Đáp án A.