Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục [-3; 3]. Hình bên là đồ thị của hàm số $y=f'(x)$. Biết $f(1)=6$ và $f'(0)=3;f'(-2)=3,g(x)=f(x)-\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{2}.$ Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Phương trình $g(x)=0$ không có nghiệm thuộc [-3; 3].
B. Phương trình $g(x)=0$ có đúng một nghiệm thuộc [-3; 3].
C. Phương trình $g(x)=0$ có đúng hai nghiệm thuộc [-3; 3].
D. Phương trình $g(x)=0$ có đúng ba nghiệm thuộc [-3; 3].
A. Phương trình $g(x)=0$ không có nghiệm thuộc [-3; 3].
B. Phương trình $g(x)=0$ có đúng một nghiệm thuộc [-3; 3].
C. Phương trình $g(x)=0$ có đúng hai nghiệm thuộc [-3; 3].
D. Phương trình $g(x)=0$ có đúng ba nghiệm thuộc [-3; 3].
Từ giả thiết $f(1)=6\to g(1)=4.$
Ta có $g'(x)=f'(x)-(x+1);g'(x)=0\Leftrightarrow f'(x)=x+1$
Ta thấy đường thẳng $y=x+1$ cắt đồ thị hàm số $y=f'(x)$ tại các điểm có hoành độ -3; 1; 3.
Dựa vào đồ thị, ta có
Vì $f'(0)=3;f'(-2)=3$ nên
$\int\limits_{-3}^{1}{\left[ f'(x)-(x+1) \right]dx>4\Leftrightarrow }\int\limits_{-3}^{1}{g'(x)dx>4\Leftrightarrow g(1)-g(-3)>4\to g(-3)<0}$
Vì vế trái chính là diện tích một hình phẳng mà hình phẳng này chứa một hình vuông có diện tích bằng 4 với độ dài 2 cạnh là 2.
$\int\limits_{1}^{3}{\left[ (x+1)-f'(x) \right]dx<4\Leftrightarrow -\int\limits_{1}^{3}{g'(x)dx<4\Leftrightarrow -\left[ g(3)-g(1) \right]<4\to g(3)>0}}$
Vì $\int\limits_{1}^{3}{\left[ (x+1)-f'(x) \right]dx<4}$ chính là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=f'(x);y=(x+1)$ ; mà hình phẳng này nằm trong một hình thang có diện tích bằng 4 với các thông tin về cạnh hình thang là: đáy lớn bằng 3, đáy nhỏ bằng 1, chiều cao bằng 2. Từ bảng biến thiên suy ra phương trình g(x) = 0 có đúng một nghiệm thuộc [-3; 3].
Ta có $g'(x)=f'(x)-(x+1);g'(x)=0\Leftrightarrow f'(x)=x+1$
Ta thấy đường thẳng $y=x+1$ cắt đồ thị hàm số $y=f'(x)$ tại các điểm có hoành độ -3; 1; 3.
Dựa vào đồ thị, ta có
Vì $f'(0)=3;f'(-2)=3$ nên
$\int\limits_{-3}^{1}{\left[ f'(x)-(x+1) \right]dx>4\Leftrightarrow }\int\limits_{-3}^{1}{g'(x)dx>4\Leftrightarrow g(1)-g(-3)>4\to g(-3)<0}$
Vì vế trái chính là diện tích một hình phẳng mà hình phẳng này chứa một hình vuông có diện tích bằng 4 với độ dài 2 cạnh là 2.
$\int\limits_{1}^{3}{\left[ (x+1)-f'(x) \right]dx<4\Leftrightarrow -\int\limits_{1}^{3}{g'(x)dx<4\Leftrightarrow -\left[ g(3)-g(1) \right]<4\to g(3)>0}}$
Vì $\int\limits_{1}^{3}{\left[ (x+1)-f'(x) \right]dx<4}$ chính là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=f'(x);y=(x+1)$ ; mà hình phẳng này nằm trong một hình thang có diện tích bằng 4 với các thông tin về cạnh hình thang là: đáy lớn bằng 3, đáy nhỏ bằng 1, chiều cao bằng 2. Từ bảng biến thiên suy ra phương trình g(x) = 0 có đúng một nghiệm thuộc [-3; 3].
Đáp án B.