Google
Câu hỏi: Cho hàm số ${y=f(x)}$ có đạo hàm ${f\prime (x)=(x-8)\left(x^2-9\right), \forall x \in \mathbb{R} .}$ Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số ${m}$ để hàmsố ${g(x)=f\left(\left|x^3+6 x\right|+m\right)}$ có ít nhất 3 điểm ac trị?
A. 5
B. 8 .
C. 6
D. 7 .
A. 5
B. 8 .
C. 6
D. 7 .
Cách 1:
${g(x)=f\left(\left|x^3+6 x\right|+m\right) \Rightarrow g\prime (x)=\left(\left|x^3+6 x\right|+m\right)\prime \cdot f\prime \left(\left|x^3+6 x\right|+m\right)}$
${=\dfrac{\left(x^3+6 x\right) \cdot\left(3 x^2+6\right)}{\left|x^3+6 x\right|} \cdot f\prime \left(\left|x^3+6 x\right|+m\right)}$
Ta thấy ${{x}=0}$ là một điểm tới hạn của hàm số ${{g}({x})}$.
Mặt khác ${{f}\prime \left(\left|{x}^3+6 {x}\right|+{m}\right)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left|{x}^3+6 {x}\right|+{m}=8 \\ \left|{x}^3+6 {x}\right|+{m}=3\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left|{x}^3+6 {x}\right|=8-{m} \\ \left|{x}^3+6 {x}\right|=3-{m}\end{array}\right.\right.}$
Xét hàm số ${{h}({x})={x}^3+6 {x}}$, vì ${{h}\prime ({x})=3 {x}^2+6>0, \forall {x} \in \mathbb{R}}$ nên ${{h}({x})}$ đồng biến trên ${\mathbb{R}}$. Ta có bảng biến thiên của hàm số ${{k}({x})=|{h}({x})|=\left|{x}^3+6 {x}\right|}$ như sau:
Hàm số ${{g}({x})={f}\left(\left|{x}^3+6 {x}\right|+{m}\right)}$ có ít nhất 3 điểm ac trị khi phương trình ${{f}\prime \left(\left|{x}^3+6 {x}\right|+{m}\right)=0}$ có ít nhất hai nghiệm khác 0 . Điều này xảy ra khi và chỉ khi ${8-{m}>0}$ hay ${{m}<8}$. Kết hợp điều kiện ${{m}}$ nguyên dương ta đượC ${{m} \in\{1 ; 2 ; 3 \ldots ; 7\}}$. Vậy có 7 giá trị của ${{m}}$ thoả mãn.
Cách 2:
Nhận thấy hàm ${g(x)=f\left(\left(x^2+6\right)|x|+m\right)}$ là hàm số chan nên đồ thị đối xứng qua trục tung. Để hàm ${g(x)=f\left(\left|x^3+6 x\right|+m\right)}$ có ít nhất 3 điểm ac trị thì hàm số
${h(x)=f\left(x^3+6 x+m\right)}$ có ít nhất 1 điểm cực trị có hoành độ dương, tứC
${
\begin{aligned}
&h\prime (x)=\left(3 x^2+6\right) f\prime \left(x^3+3 x+m\right)=0 \text { có nghi?m duong b?i l? hay } \\
&{\left[\begin{array} { l }
{ x ^ { 3 } + 3 x + m = 8 } \\
{ x ^ { 3 } + 3 x + m = 3 } \\
{ x ^ { 3 } + 3 x + m = - 3 }
\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
x^3+3 x-8=-m \\
x^3+3 x-3=-m \text { có nghi?m duong b?i l?. } \\
x^3+3 x+3=-m
\end{array}\right.\right.} \\
&\text { Ta có bảng biến thiên (g?p) }
\end{aligned}
}$
Từ bảng biến thiên suy ra ${\left\{\begin{array}{l}m>0 \\ -m>-8\end{array} \Leftrightarrow 0<m<8\right.}$.
${g(x)=f\left(\left|x^3+6 x\right|+m\right) \Rightarrow g\prime (x)=\left(\left|x^3+6 x\right|+m\right)\prime \cdot f\prime \left(\left|x^3+6 x\right|+m\right)}$
${=\dfrac{\left(x^3+6 x\right) \cdot\left(3 x^2+6\right)}{\left|x^3+6 x\right|} \cdot f\prime \left(\left|x^3+6 x\right|+m\right)}$
Ta thấy ${{x}=0}$ là một điểm tới hạn của hàm số ${{g}({x})}$.
Mặt khác ${{f}\prime \left(\left|{x}^3+6 {x}\right|+{m}\right)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left|{x}^3+6 {x}\right|+{m}=8 \\ \left|{x}^3+6 {x}\right|+{m}=3\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left|{x}^3+6 {x}\right|=8-{m} \\ \left|{x}^3+6 {x}\right|=3-{m}\end{array}\right.\right.}$
Xét hàm số ${{h}({x})={x}^3+6 {x}}$, vì ${{h}\prime ({x})=3 {x}^2+6>0, \forall {x} \in \mathbb{R}}$ nên ${{h}({x})}$ đồng biến trên ${\mathbb{R}}$. Ta có bảng biến thiên của hàm số ${{k}({x})=|{h}({x})|=\left|{x}^3+6 {x}\right|}$ như sau:
Hàm số ${{g}({x})={f}\left(\left|{x}^3+6 {x}\right|+{m}\right)}$ có ít nhất 3 điểm ac trị khi phương trình ${{f}\prime \left(\left|{x}^3+6 {x}\right|+{m}\right)=0}$ có ít nhất hai nghiệm khác 0 . Điều này xảy ra khi và chỉ khi ${8-{m}>0}$ hay ${{m}<8}$. Kết hợp điều kiện ${{m}}$ nguyên dương ta đượC ${{m} \in\{1 ; 2 ; 3 \ldots ; 7\}}$. Vậy có 7 giá trị của ${{m}}$ thoả mãn.
Cách 2:
Nhận thấy hàm ${g(x)=f\left(\left(x^2+6\right)|x|+m\right)}$ là hàm số chan nên đồ thị đối xứng qua trục tung. Để hàm ${g(x)=f\left(\left|x^3+6 x\right|+m\right)}$ có ít nhất 3 điểm ac trị thì hàm số
${h(x)=f\left(x^3+6 x+m\right)}$ có ít nhất 1 điểm cực trị có hoành độ dương, tứC
${
\begin{aligned}
&h\prime (x)=\left(3 x^2+6\right) f\prime \left(x^3+3 x+m\right)=0 \text { có nghi?m duong b?i l? hay } \\
&{\left[\begin{array} { l }
{ x ^ { 3 } + 3 x + m = 8 } \\
{ x ^ { 3 } + 3 x + m = 3 } \\
{ x ^ { 3 } + 3 x + m = - 3 }
\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
x^3+3 x-8=-m \\
x^3+3 x-3=-m \text { có nghi?m duong b?i l?. } \\
x^3+3 x+3=-m
\end{array}\right.\right.} \\
&\text { Ta có bảng biến thiên (g?p) }
\end{aligned}
}$
Từ bảng biến thiên suy ra ${\left\{\begin{array}{l}m>0 \\ -m>-8\end{array} \Leftrightarrow 0<m<8\right.}$.
Đáp án D.