Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau
Bất phương trình $\left( {{x}^{2}}+1 \right)f(x)\ge m$ có nghiệm trên khoảng (–1; 2) khi và chỉ khi
A. $m<8.$
B. $m\le 15.$
C. $m<2.$
D. $m<15.$
Bất phương trình $\left( {{x}^{2}}+1 \right)f(x)\ge m$ có nghiệm trên khoảng (–1; 2) khi và chỉ khi
A. $m<8.$
B. $m\le 15.$
C. $m<2.$
D. $m<15.$
Đặt $\left( {{x}^{2}}+1 \right)f(x)=g(x)\Rightarrow g(x)'=2x.f(x)+({{x}^{2}}+1)f'(x)$
Xét $x\in (-1;2)$ ta có x > 0 thì $\left\{ \begin{aligned}
& f'(x)>0 \\
& xf(x)>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g'(x)>0 $ và với x < 0 thì $ \left\{ \begin{aligned}
& f'(x)<0 \\
& xf(x)<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g'(x)<0$
+) Từ đó ta có bảng biến thiên
+) Theo BBT thì để bất phương trình $\left( {{x}^{2}}+1 \right)f\left( x \right)\ge m$ có nghiệm trên khoảng (-1; 2) khi và chỉ khi $m<15$.
Xét $x\in (-1;2)$ ta có x > 0 thì $\left\{ \begin{aligned}
& f'(x)>0 \\
& xf(x)>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g'(x)>0 $ và với x < 0 thì $ \left\{ \begin{aligned}
& f'(x)<0 \\
& xf(x)<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g'(x)<0$
+) Từ đó ta có bảng biến thiên
+) Theo BBT thì để bất phương trình $\left( {{x}^{2}}+1 \right)f\left( x \right)\ge m$ có nghiệm trên khoảng (-1; 2) khi và chỉ khi $m<15$.
Đáp án D.