Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=2{{\text{x}}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}}+m+4$. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để $\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|+\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=11$. Tổng giá trị các phần tử của S bằng
A. 11
B. $-7$
C. $-11$
D. 7
A. 11
B. $-7$
C. $-11$
D. 7
Ta có: ${f}'\left( x \right)=6{{\text{x}}^{2}}-6\text{x}$. Khi đó ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1\in \left[ -1;2 \right] \\
& x=0\in \left[ -1;2 \right] \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( -1 \right)m=-1 \\
& f\left( 0 \right)=m+4 \\
& f\left( 1 \right)=3+m \\
& f\left( 2 \right)=8+m \\
\end{aligned} \right. $ suy ra $ \left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=-1+m \\
& \underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=8+m \\
\end{aligned} \right.$.
Trường hợp 1: $\left( -1+m \right)\left( 8+m \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<-8 \\
& m>1 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó: $\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|+\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=11\Leftrightarrow \left| -1+m \right|+\left| 8+m \right|=11$.
Nếu $m<-8$ ta có: $1-m-8-m=11\Leftrightarrow m=-9$ (thỏa mãn).
Nếu $m>1$ ta có: $-1+m+8+m=11\Leftrightarrow m=2$ (thỏa mãn).
Trường hợp 2: $\left( -1+m \right)\left( 8+m \right)\le 0\Leftrightarrow -8\le m\le 1$ (*)
Khi đó: $\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|=0$ và $\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|+\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=11\Leftrightarrow \underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=11$.
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \left| m+8 \right|\ge \left| -1+m \right| \\
& \left| m+8 \right|=11 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& \left| m+8 \right|\le \left| -1+m \right| \\
& \left| -1+m \right|=11 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \left| m+8 \right|\ge \left| -1+m \right| \\
& \left[ \begin{aligned}
& m=3 \\
& m=-19 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& \left| m+8 \right|\le \left| -1+m \right| \\
& \left[ \begin{aligned}
& m=-10 \\
& m=12 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=3 \\
& m=-10 \\
\end{aligned} \right.$ (không thỏa mãn (*)).
Vậy $S=\left\{ -9;2 \right\}$. Tổng giá trị các phần tử của S bằng $-7$.
& x=1\in \left[ -1;2 \right] \\
& x=0\in \left[ -1;2 \right] \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( -1 \right)m=-1 \\
& f\left( 0 \right)=m+4 \\
& f\left( 1 \right)=3+m \\
& f\left( 2 \right)=8+m \\
\end{aligned} \right. $ suy ra $ \left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=-1+m \\
& \underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=8+m \\
\end{aligned} \right.$.
Trường hợp 1: $\left( -1+m \right)\left( 8+m \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<-8 \\
& m>1 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó: $\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|+\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=11\Leftrightarrow \left| -1+m \right|+\left| 8+m \right|=11$.
Nếu $m<-8$ ta có: $1-m-8-m=11\Leftrightarrow m=-9$ (thỏa mãn).
Nếu $m>1$ ta có: $-1+m+8+m=11\Leftrightarrow m=2$ (thỏa mãn).
Trường hợp 2: $\left( -1+m \right)\left( 8+m \right)\le 0\Leftrightarrow -8\le m\le 1$ (*)
Khi đó: $\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|=0$ và $\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|+\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=11\Leftrightarrow \underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=11$.
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \left| m+8 \right|\ge \left| -1+m \right| \\
& \left| m+8 \right|=11 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& \left| m+8 \right|\le \left| -1+m \right| \\
& \left| -1+m \right|=11 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \left| m+8 \right|\ge \left| -1+m \right| \\
& \left[ \begin{aligned}
& m=3 \\
& m=-19 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& \left| m+8 \right|\le \left| -1+m \right| \\
& \left[ \begin{aligned}
& m=-10 \\
& m=12 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=3 \\
& m=-10 \\
\end{aligned} \right.$ (không thỏa mãn (*)).
Vậy $S=\left\{ -9;2 \right\}$. Tổng giá trị các phần tử của S bằng $-7$.
Đáp án B.