Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e$ với $(a,b,c,d,e\in \mathbb{R})$. Biết hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ, đạt cực trị tại điểm $O\left( 0;0 \right)$ và cắt truc hoành tại $A\left( 3;0 \right)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên $\left[ -5;5 \right]$ để phương trình $f\left( -{{x}^{2}}+2x+m \right)=e$ có bốn nghiệm phân biệt.
A. $0$.
B. $2$.
C. $5$.
D. $7$.
B. $2$.
C. $5$.
D. $7$.
Dựa vào đồ thị ta có $f'\left( x \right)=k.{{x}^{2}}\left( x-3 \right)$ $\left( k<0 \right)$
Do $f'\left( 2 \right)=1\Rightarrow 1=4k\left( -1 \right)\Rightarrow k=-\dfrac{1}{4}<0$ nên $f'\left( x \right)=-\dfrac{1}{4}{{x}^{3}}+\dfrac{3}{4}{{x}^{2}}$
Suy ra $f\left( x \right)=-\dfrac{1}{16}{{x}^{4}}+\dfrac{1}{4}{{x}^{3}}+e=-\dfrac{1}{4}{{x}^{3}}\left( \dfrac{1}{4}x-1 \right)+e$
Mặt khác $f\left( -{{x}^{2}}+2x+m \right)=e\Leftrightarrow {{\left( -{{x}^{2}}+2x+m \right)}^{3}}\left( \dfrac{-{{x}^{2}}+2x+m}{4}-1 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \underbrace{-{{x}^{2}}+2x+m}_{g\left( x \right)}=0 \\
& \underbrace{-{{x}^{2}}+2x+m-4}_{h\left( x \right)}=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình $f\left( -{{x}^{2}}+2x+m \right)=e$ có 4 nghiệm phân biệt $g\left( x \right)=0$ và $h\left( x \right)=0$ lần lượt có 2 nghiệm phân biệt $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta _{g}^{'}=1+m>0 \\
& \Delta _{h}^{'}=1+m-4>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>3$
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& m\in \left[ -5;5 \right] \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \left\{ 4;5 \right\}$ nên có 2 giá trị nguyên thỏa yêu cầu bài toán.
Do $f'\left( 2 \right)=1\Rightarrow 1=4k\left( -1 \right)\Rightarrow k=-\dfrac{1}{4}<0$ nên $f'\left( x \right)=-\dfrac{1}{4}{{x}^{3}}+\dfrac{3}{4}{{x}^{2}}$
Suy ra $f\left( x \right)=-\dfrac{1}{16}{{x}^{4}}+\dfrac{1}{4}{{x}^{3}}+e=-\dfrac{1}{4}{{x}^{3}}\left( \dfrac{1}{4}x-1 \right)+e$
Mặt khác $f\left( -{{x}^{2}}+2x+m \right)=e\Leftrightarrow {{\left( -{{x}^{2}}+2x+m \right)}^{3}}\left( \dfrac{-{{x}^{2}}+2x+m}{4}-1 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \underbrace{-{{x}^{2}}+2x+m}_{g\left( x \right)}=0 \\
& \underbrace{-{{x}^{2}}+2x+m-4}_{h\left( x \right)}=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình $f\left( -{{x}^{2}}+2x+m \right)=e$ có 4 nghiệm phân biệt $g\left( x \right)=0$ và $h\left( x \right)=0$ lần lượt có 2 nghiệm phân biệt $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta _{g}^{'}=1+m>0 \\
& \Delta _{h}^{'}=1+m-4>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>3$
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& m\in \left[ -5;5 \right] \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \left\{ 4;5 \right\}$ nên có 2 giá trị nguyên thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án B.