Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ thoả mãn:
${{x}^{2}}{{f}^{2}}\left( x \right)+\left( 2x-1 \right)f\left( x \right)=x.{f}'\left( x \right)-1$ với đồng thời $f\left( 1 \right)=2.$ Tính $\int\limits_{1}^{4}{f\left( x \right)dx}$ thu được kết quả bằng
A. $-2\ln 2-\dfrac{1}{4}.$
B. $-2\ln 2-\dfrac{3}{4}.$
C. $-\ln 2-\dfrac{3}{4}.$
D. $-\ln 2-\dfrac{1}{4}.$
${{x}^{2}}{{f}^{2}}\left( x \right)+\left( 2x-1 \right)f\left( x \right)=x.{f}'\left( x \right)-1$ với đồng thời $f\left( 1 \right)=2.$ Tính $\int\limits_{1}^{4}{f\left( x \right)dx}$ thu được kết quả bằng
A. $-2\ln 2-\dfrac{1}{4}.$
B. $-2\ln 2-\dfrac{3}{4}.$
C. $-\ln 2-\dfrac{3}{4}.$
D. $-\ln 2-\dfrac{1}{4}.$
Từ giả thiết ta có: ${{\left( xf\left( x \right)+1 \right)}^{2}}=f\left( x \right)+x{f}'\left( x \right).$
Đặt $u=x.f\left( x \right)+1\Rightarrow {{u}^{2}}={u}'\Rightarrow \dfrac{{{u}'}}{{{u}^{2}}}=1\Rightarrow \int{\dfrac{{{u}'}}{{{u}^{2}}}dx}=x+C\Rightarrow \dfrac{-1}{u}=x+C.$
Vậy $x.f\left( x \right)=\dfrac{-1}{x+C}-1$ mà $f\left( 1 \right)=-2\Rightarrow C=0.$
Vậy $f\left( x \right)=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{x}\Rightarrow \int\limits_{1}^{4}{f\left( x \right)dx}=-2\ln 2-\dfrac{3}{4}.$
Đặt $u=x.f\left( x \right)+1\Rightarrow {{u}^{2}}={u}'\Rightarrow \dfrac{{{u}'}}{{{u}^{2}}}=1\Rightarrow \int{\dfrac{{{u}'}}{{{u}^{2}}}dx}=x+C\Rightarrow \dfrac{-1}{u}=x+C.$
Vậy $x.f\left( x \right)=\dfrac{-1}{x+C}-1$ mà $f\left( 1 \right)=-2\Rightarrow C=0.$
Vậy $f\left( x \right)=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{x}\Rightarrow \int\limits_{1}^{4}{f\left( x \right)dx}=-2\ln 2-\dfrac{3}{4}.$
Đáp án B.