Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác đinh và liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa $f\left( {{x}^{5}}+4x+3 \right)=2x+1$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Tích phân $\int\limits_{-2}^{8}{f\left( x \right)dx}$ bằng
A. $10$.
B. $2$.
C. $\dfrac{32}{3}$.
D. $72$.
Ta có $I=\int\limits_{-2}^{8}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{-2}^{8}{f\left( t \right)dt}$ (tích phân không phụ thuộc vào biến).
Đặt $t={{x}^{5}}+4x+3\Rightarrow dt=\left( 5{{x}^{4}}+4 \right)dx$.
Đổi cận $t=8\Rightarrow x=1;\ t=-2\Rightarrow x=-1$.
Do đó $I=\int\limits_{-2}^{8}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( {{x}^{5}}+4x+3 \right).\left( 5{{x}^{4}}+4 \right).dx}=\int\limits_{-1}^{1}{\left( 2x+1 \right).\left( 5{{x}^{4}}+4 \right).dx}$
$=\int\limits_{-1}^{1}{\left( 10{{x}^{5}}+5{{x}^{4}}+8x+4 \right)}dx=\left. \left( \dfrac{5}{3}{{x}^{6}}+{{x}^{5}}+4{{x}^{2}}+4x \right) \right|_{-1}^{1}=\left( \dfrac{5}{3}+1+4+4 \right)-\left( \dfrac{5}{3}-1+4-4 \right)=10$.
A. $10$.
B. $2$.
C. $\dfrac{32}{3}$.
D. $72$.
Ta có $I=\int\limits_{-2}^{8}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{-2}^{8}{f\left( t \right)dt}$ (tích phân không phụ thuộc vào biến).
Đặt $t={{x}^{5}}+4x+3\Rightarrow dt=\left( 5{{x}^{4}}+4 \right)dx$.
Đổi cận $t=8\Rightarrow x=1;\ t=-2\Rightarrow x=-1$.
Do đó $I=\int\limits_{-2}^{8}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( {{x}^{5}}+4x+3 \right).\left( 5{{x}^{4}}+4 \right).dx}=\int\limits_{-1}^{1}{\left( 2x+1 \right).\left( 5{{x}^{4}}+4 \right).dx}$
$=\int\limits_{-1}^{1}{\left( 10{{x}^{5}}+5{{x}^{4}}+8x+4 \right)}dx=\left. \left( \dfrac{5}{3}{{x}^{6}}+{{x}^{5}}+4{{x}^{2}}+4x \right) \right|_{-1}^{1}=\left( \dfrac{5}{3}+1+4+4 \right)-\left( \dfrac{5}{3}-1+4-4 \right)=10$.
Đáp án A.