Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và liên tục trên $\left[...

The Knowledge · 20/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

xác định và liên tục trên

[0; 2]

thỏa mãn

e^{x} f^{2} (x) + f (x) = f^{'} (x) - \frac{1}{e^{x}}

và

f (0) = 1.

Tính

f (2)

A.

\frac{1}{e^{2}}

B.

- \frac{5}{3 e^{2}}

C.

- \frac{1}{e^{2}}

D.

- \frac{2}{3 e^{2}}

Ta có

e^{x} f^{2} (x) + f (x) = f^{'} (x) - \frac{1}{e^{x}} \Leftrightarrow {(e^{x} . f (x))}^{2} + e^{x} . f (x) = e^{x} . f^{'} (x) - 1

\Leftrightarrow {(e^{x} . f (x))}^{2} + 2 e^{x} . f (x) + 1 = e^{x} . f^{'} (x) + {(e^{x})}^{'} . f (x) \Leftrightarrow {[e^{x} . f (x) + 1]}^{2} = {(e^{x} . f (x))}^{'}

Đặt

g (x) = e^{x} . f (x)

suy ra

{[g (x) + 1]}^{2} = g^{'} (x) \Leftrightarrow \frac{g^{'} (x)}{{[g (x) + 1]}^{2}} = 1 \Leftrightarrow \int \frac{g^{'} (x)}{{[g (x) + 1]}^{2}} = x + C

\Leftrightarrow \int \frac{d (g (x) + 1)}{{[g (x) + 1]}^{2}} = x + C \Leftrightarrow \frac{1}{g (x) + 1} = x + C

mà

f (0) = 1 \Rightarrow g (0) = 1

nên

C = - \frac{1}{2}

Do đó

- \frac{1}{e^{x} . f (x) + 1} = x - \frac{1}{2} \Leftrightarrow e^{x} . f (x) + 1 = \frac{2}{1 - 2 x} .

Vậy

f (2) = - \frac{5}{3 e^{2}}

Đáp án B.

Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên $\left[...