Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên đoạn $\left[ -1;5 \right]$ có đồ thị của $y=f'\left( x \right)$ được cho như hình bên dưới
Hàm số $g\left( x \right)=-2f\left( x \right)+{{x}^{2}}-4x+4$ đồng biến trên khoảng
A. $\left( 0;2 \right).$
B. $\left( -1;0 \right).$
C. $\left( 2;3 \right).$
D. $\left( -2;-1 \right).$
Hàm số $g\left( x \right)=-2f\left( x \right)+{{x}^{2}}-4x+4$ đồng biến trên khoảng
A. $\left( 0;2 \right).$
B. $\left( -1;0 \right).$
C. $\left( 2;3 \right).$
D. $\left( -2;-1 \right).$
Ta có: $g'\left( x \right)=-2f'\left( x \right)+2x-4.$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)=x-2.$
Vẽ đường thẳng $y=x-2$ và đồ thị $y=f'\left( x \right)$ trên cùng hệ trục tọa độ ta được hình sau:
Dựa vào đồ thị ta thấy: $f'\left( x \right)=x-2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=a\left( a\in \left( 1;2 \right) \right) \\
& x=3 \\
& x=b\left( b\in \left( 4;5 \right) \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Để hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến khi và chỉ khi $g'\left( x \right)>0\Leftrightarrow -2f'\left( x \right)+2x-4>0\Leftrightarrow f'\left( x \right)<x-2.$
Nhìn đồ thị ta thấy $f'\left( x \right)<x-2,\forall x\in \left( a;3 \right)$ và $x\in \left( b;5 \right)\Rightarrow g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 2;3 \right).$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)=x-2.$
Vẽ đường thẳng $y=x-2$ và đồ thị $y=f'\left( x \right)$ trên cùng hệ trục tọa độ ta được hình sau:
Dựa vào đồ thị ta thấy: $f'\left( x \right)=x-2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=a\left( a\in \left( 1;2 \right) \right) \\
& x=3 \\
& x=b\left( b\in \left( 4;5 \right) \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Để hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến khi và chỉ khi $g'\left( x \right)>0\Leftrightarrow -2f'\left( x \right)+2x-4>0\Leftrightarrow f'\left( x \right)<x-2.$
Nhìn đồ thị ta thấy $f'\left( x \right)<x-2,\forall x\in \left( a;3 \right)$ và $x\in \left( b;5 \right)\Rightarrow g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 2;3 \right).$
Đáp án C.