Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định và có đạo hàm trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ -1;0 \right\}$ thỏa mãn $f\left( 1 \right)=\dfrac{1}{2}, f\left( x \right)\ne 0$ và $xf'\left( x \right)+{{f}^{2}}\left( x \right)=f\left( x \right)$ với mọi $x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ -1;0 \right\}.$ Giá trị biểu thức $P=f\left( 1 \right).f\left( 2 \right)...f\left( 2021 \right)$ bằng
A. $2021!.$
B. $\dfrac{1}{2022}.$
C. $\dfrac{2020}{2021}.$
D. $\dfrac{1}{2021!}.$
A. $2021!.$
B. $\dfrac{1}{2022}.$
C. $\dfrac{2020}{2021}.$
D. $\dfrac{1}{2021!}.$
Ta có $xf'\left( x \right)+{{f}^{2}}\left( x \right)=f\left( x \right)\Leftrightarrow \dfrac{f\left( x \right)-xf'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}=1\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{x}{f\left( x \right)} \right)}^{\prime }}=1.$
Lấy nguyên hàm hai vế ta được $\dfrac{x}{f\left( x \right)}=x+C\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{x}{x+C}.$
Vì $f\left( 1 \right)=\dfrac{1}{2}$ nên $C=1,$ suy ra $f\left( x \right)=\dfrac{x}{x+1}.$
Từ đó $P=f\left( 1 \right).f\left( 2 \right)...f\left( 2021 \right)=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}...\dfrac{2021}{2022}=\dfrac{1}{2022}.$
Lấy nguyên hàm hai vế ta được $\dfrac{x}{f\left( x \right)}=x+C\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{x}{x+C}.$
Vì $f\left( 1 \right)=\dfrac{1}{2}$ nên $C=1,$ suy ra $f\left( x \right)=\dfrac{x}{x+1}.$
Từ đó $P=f\left( 1 \right).f\left( 2 \right)...f\left( 2021 \right)=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}...\dfrac{2021}{2022}=\dfrac{1}{2022}.$
Đáp án B.