Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ \dfrac{1}{2} \right\}$ thỏa mãn ${f}'(x)=\dfrac{2}{2x-1};$ $f\left( 0 \right)=1$ và $f\left( 1 \right)=2$ Tính $P=f\left( -1 \right)+f\left( 3 \right)$
.
A. $P=3+\ln 3$.
B. $P=3+\ln 5$.
C. $P=3+\ln 15$.
D. $P=3-\ln 15$.
.
A. $P=3+\ln 3$.
B. $P=3+\ln 5$.
C. $P=3+\ln 15$.
D. $P=3-\ln 15$.
Có $f(x)=\int{{f}'(x)\text{d}x=\int{\dfrac{2}{2x-1}\text{d}x=\ln \left| 2x-1 \right|+C=\left\{ \begin{aligned}
& \ln (2x-1)+{{C}_{1}}\text{ khi }x>\dfrac{1}{2} \\
& \ln (1-2x)+{{C}_{2}}\text{ khi }x<\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.}}$.
Để $\left\{ \begin{aligned}
& f(0)=1 \\
& f(1)=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{C}_{2}}=1 \\
& {{C}_{1}}=2 \\
\end{aligned} \right.\cdot $ Suy ra: $ f(x)=\left\{ \begin{aligned}
& \ln (2x-1)+2\text{ khi } x>\dfrac{1}{2} \\
& \ln (1-2x)+1\text{ khi }x<\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.\cdot $
Do đó $P=f(-1)+f(3)=3+\ln 3+\ln 5=3+\ln 15.$
& \ln (2x-1)+{{C}_{1}}\text{ khi }x>\dfrac{1}{2} \\
& \ln (1-2x)+{{C}_{2}}\text{ khi }x<\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.}}$.
Để $\left\{ \begin{aligned}
& f(0)=1 \\
& f(1)=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{C}_{2}}=1 \\
& {{C}_{1}}=2 \\
\end{aligned} \right.\cdot $ Suy ra: $ f(x)=\left\{ \begin{aligned}
& \ln (2x-1)+2\text{ khi } x>\dfrac{1}{2} \\
& \ln (1-2x)+1\text{ khi }x<\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.\cdot $
Do đó $P=f(-1)+f(3)=3+\ln 3+\ln 5=3+\ln 15.$
Đáp án C.