Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $R$ và...

The Funny · 28/5/23

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

xác định trên

R

và thỏa mãn

2 f^{'} (x) + f^{'} (- x) = \frac{2 | x |}{x^{6} + x^{2} + 1}

với

\forall x \in R

. Giả sử

f (2) = a

,

f (- 3) = b

. Tính

T = f (- 2) - f (3)

.
A.

T = b - a

.
B.

T = a + b

.
C.

T = - a - b

.
D.

T = a - b

.

Với

\forall x \in R

, thay

x

bởi

- x

vào biểu thức

2 f^{'} (x) + f^{'} (- x) = \frac{2 | x |}{x^{6} + x^{2} + 1}

(1)

, ta được

2 f^{'} (- x) + f^{'} (x) = \frac{2 | - x |}{{(- x)}^{6} + {(- x)}^{2} + 1}

hay

2 f^{'} (- x) + f^{'} (x) = \frac{2 | x |}{x^{6} + x^{2} + 1}

(2)

.
Nhân hai vế của

(1)

với

2

sau đó trừ theo vế cho

(2)

, ta được

f^{'} (x) = \frac{2}{3} . \frac{| x |}{x^{6} + x^{2} + 1}

với

\forall x \in R

.
Xét tích phân

I = \int_{- 3}^{2} f^{'} (x) d x = \int_{- 3}^{2} \frac{2}{3} . \frac{| x |}{x^{6} + x^{2} + 1} d x

. Đặt

u = - x

\Rightarrow d u = - d x

.
Đổi cận:

x = - 3 \Rightarrow u = 3

và

x = 2 \Rightarrow u = - 2

.
Khi đó:

I = \int_{3}^{- 2} \frac{2}{3} . \frac{| - u |}{{(- u)}^{6} + {(- u)}^{2} + 1} (- d u) = \int_{- 2}^{3} \frac{2}{3} . \frac{| u |}{u^{6} + u^{2} + 1} d u = \int_{- 2}^{3} \frac{2}{3} . \frac{| x |}{x^{6} + x^{2} + 1} d x = \int_{- 2}^{3} f^{'} (x) d x

.
Vì

I = \int_{- 3}^{2} f^{'} (x) d x = f (2) - f (- 3)

và

I = \int_{- 2}^{3} f^{'} (x) d x = f (3) - f (- 2)

.
Do đó:

f (2) - f (- 3) = f (3) - f (- 2)

\Leftrightarrow f (- 2) - f (3) = f (- 3) - f (2) = b - a

.

Đáp án A.

Cho hàm số y=f(x) xác định trên R và...