Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $2{f}'\left( x \right)+{f}'\left( -x \right)=\dfrac{2\left| x \right|}{{{x}^{6}}+{{x}^{2}}+1}$ với $\forall x\in \mathbb{R}$. Giả sử $f\left( 2 \right)=a$, $f\left( -3 \right)=b$. Tính $T=f\left( -2 \right)-f\left( 3 \right)$.
A. $T=b-a$.
B. $T=a+b$.
C. $T=-a-b$.
D. $T=a-b$.
A. $T=b-a$.
B. $T=a+b$.
C. $T=-a-b$.
D. $T=a-b$.
Với $\forall x\in \mathbb{R}$, thay $x$ bởi $-x$ vào biểu thức $2{f}'\left( x \right)+{f}'\left( -x \right)=\dfrac{2\left| x \right|}{{{x}^{6}}+{{x}^{2}}+1}$ $\left( 1 \right)$, ta được
$2{f}'\left( -x \right)+{f}'\left( x \right)=\dfrac{2\left| -x \right|}{{{\left( -x \right)}^{6}}+{{\left( -x \right)}^{2}}+1}$ hay $2{f}'\left( -x \right)+{f}'\left( x \right)=\dfrac{2\left| x \right|}{{{x}^{6}}+{{x}^{2}}+1}$ $\left( 2 \right)$.
Nhân hai vế của $\left( 1 \right)$ với $2$ sau đó trừ theo vế cho $\left( 2 \right)$, ta được ${f}'\left( x \right)=\dfrac{2}{3}.\dfrac{\left| x \right|}{{{x}^{6}}+{{x}^{2}}+1}$ với $\forall x\in \mathbb{R}$.
Xét tích phân $I=\int\limits_{-3}^{2}{{f}'\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{-3}^{2}{\dfrac{2}{3}.\dfrac{\left| x \right|}{{{x}^{6}}+{{x}^{2}}+1}\text{d}x}$. Đặt $u=-x$ $\Rightarrow \text{d}u=-\text{d}x$.
Đổi cận: $x=-3\Rightarrow u=3$ và $x=2\Rightarrow u=-2$.
Khi đó: $I=\int\limits_{3}^{-2}{\dfrac{2}{3}.\dfrac{\left| -u \right|}{{{\left( -u \right)}^{6}}+{{\left( -u \right)}^{2}}+1}\left( -\text{d}u \right)}=\int\limits_{-2}^{3}{\dfrac{2}{3}.\dfrac{\left| u \right|}{{{u}^{6}}+{{u}^{2}}+1}\text{d}u}=\int\limits_{-2}^{3}{\dfrac{2}{3}.\dfrac{\left| x \right|}{{{x}^{6}}+{{x}^{2}}+1}\text{d}x}=\int\limits_{-2}^{3}{{f}'\left( x \right)\text{d}x}$.
Vì $I=\int\limits_{-3}^{2}{{f}'\left( x \right)\text{d}x}=f\left( 2 \right)-f\left( -3 \right)$ và $I=\int\limits_{-2}^{3}{{f}'\left( x \right)\text{d}x}=f\left( 3 \right)-f\left( -2 \right)$.
Do đó: $f\left( 2 \right)-f\left( -3 \right)=f\left( 3 \right)-f\left( -2 \right)$ $\Leftrightarrow f\left( -2 \right)-f\left( 3 \right)=f\left( -3 \right)-f\left( 2 \right)=b-a$.
$2{f}'\left( -x \right)+{f}'\left( x \right)=\dfrac{2\left| -x \right|}{{{\left( -x \right)}^{6}}+{{\left( -x \right)}^{2}}+1}$ hay $2{f}'\left( -x \right)+{f}'\left( x \right)=\dfrac{2\left| x \right|}{{{x}^{6}}+{{x}^{2}}+1}$ $\left( 2 \right)$.
Nhân hai vế của $\left( 1 \right)$ với $2$ sau đó trừ theo vế cho $\left( 2 \right)$, ta được ${f}'\left( x \right)=\dfrac{2}{3}.\dfrac{\left| x \right|}{{{x}^{6}}+{{x}^{2}}+1}$ với $\forall x\in \mathbb{R}$.
Xét tích phân $I=\int\limits_{-3}^{2}{{f}'\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{-3}^{2}{\dfrac{2}{3}.\dfrac{\left| x \right|}{{{x}^{6}}+{{x}^{2}}+1}\text{d}x}$. Đặt $u=-x$ $\Rightarrow \text{d}u=-\text{d}x$.
Đổi cận: $x=-3\Rightarrow u=3$ và $x=2\Rightarrow u=-2$.
Khi đó: $I=\int\limits_{3}^{-2}{\dfrac{2}{3}.\dfrac{\left| -u \right|}{{{\left( -u \right)}^{6}}+{{\left( -u \right)}^{2}}+1}\left( -\text{d}u \right)}=\int\limits_{-2}^{3}{\dfrac{2}{3}.\dfrac{\left| u \right|}{{{u}^{6}}+{{u}^{2}}+1}\text{d}u}=\int\limits_{-2}^{3}{\dfrac{2}{3}.\dfrac{\left| x \right|}{{{x}^{6}}+{{x}^{2}}+1}\text{d}x}=\int\limits_{-2}^{3}{{f}'\left( x \right)\text{d}x}$.
Vì $I=\int\limits_{-3}^{2}{{f}'\left( x \right)\text{d}x}=f\left( 2 \right)-f\left( -3 \right)$ và $I=\int\limits_{-2}^{3}{{f}'\left( x \right)\text{d}x}=f\left( 3 \right)-f\left( -2 \right)$.
Do đó: $f\left( 2 \right)-f\left( -3 \right)=f\left( 3 \right)-f\left( -2 \right)$ $\Leftrightarrow f\left( -2 \right)-f\left( 3 \right)=f\left( -3 \right)-f\left( 2 \right)=b-a$.
Đáp án A.