Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có...

Ta có $g(x)=2f(\left| x-1 \right|)+{{x}^{2}}-2x-2\left| x-1 \right|+2022$
$\Leftrightarrow g(x)=2f\left( \sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}} \right)+{{x}^{2}}-2x-2\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+2022$
$\Rightarrow {g}'(x)=2\dfrac{x-1}{\left| x-1 \right|}\left[ {f}'\left( \left| x-1 \right| \right)+\left| x-1 \right|-1 \right], \forall x\ne 1.$
$\Leftrightarrow {g}'(x)=0\Leftrightarrow {f}'\left( \left| x-1 \right| \right)=-\left| x-1 \right|+1$
Đặt $t=\left| x-1 \right|, t\ge 0$ ta được phương trình ${f}'\left( t \right)=-t+1$ (1)
Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y={f}'\left( t \right)$ và đường thẳng $y=-t+1$.
Vì $t\ge 0$ nên ${f}'\left( t \right)=-t+1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=3 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| x-1 \right|=1 \\
& \left| x-1 \right|=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
& x=-2 \\
& x=4 \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên $\left( 1;2 \right)$.