Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị
của hàm số ${f}'\left( x \right)$ và đường thẳng $y=-x$ như hình bên. Hàm
số $h\left( x \right)=f\left( {{x}^{3}}-3 \right)+\dfrac{{{\left( {{x}^{3}}-3 \right)}^{2}}}{2}$ đồng biến trên:
A. $\left( -\infty ;0 \right)$
B. $\left( -\infty ;1 \right)$
C. $\left( 1;+\infty \right)$
D. $\left( 0;1 \right)$
của hàm số ${f}'\left( x \right)$ và đường thẳng $y=-x$ như hình bên. Hàm
số $h\left( x \right)=f\left( {{x}^{3}}-3 \right)+\dfrac{{{\left( {{x}^{3}}-3 \right)}^{2}}}{2}$ đồng biến trên:
A. $\left( -\infty ;0 \right)$
B. $\left( -\infty ;1 \right)$
C. $\left( 1;+\infty \right)$
D. $\left( 0;1 \right)$
Đặt $g\left( x \right)=f\left( x \right)+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}\Rightarrow {g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+x>0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)>-x\Leftrightarrow x>-2$
Khi đó $h\left( x \right)=g\left( {{x}^{3}}-3 \right)=f\left( {{x}^{3}}-3 \right)+\dfrac{{{\left( {{x}^{3}}-3 \right)}^{2}}}{2}\Rightarrow {h}'\left( x \right)={{\left[ g\left( {{x}^{3}}03 \right) \right]}^{\prime }}=3{{x}^{2}}.{g}'\left( {{x}^{3}}-3 \right)$
Suy ra ${h}'\left( x \right)>0\Leftrightarrow {g}'\left( {{x}^{3}}-3 \right)>0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3>-2\Leftrightarrow {{x}^{3}}>1\Leftrightarrow x>1$
Do đó hàm số h(x) đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$.
Khi đó $h\left( x \right)=g\left( {{x}^{3}}-3 \right)=f\left( {{x}^{3}}-3 \right)+\dfrac{{{\left( {{x}^{3}}-3 \right)}^{2}}}{2}\Rightarrow {h}'\left( x \right)={{\left[ g\left( {{x}^{3}}03 \right) \right]}^{\prime }}=3{{x}^{2}}.{g}'\left( {{x}^{3}}-3 \right)$
Suy ra ${h}'\left( x \right)>0\Leftrightarrow {g}'\left( {{x}^{3}}-3 \right)>0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3>-2\Leftrightarrow {{x}^{3}}>1\Leftrightarrow x>1$
Do đó hàm số h(x) đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$.
Đáp án C.